450.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

sin⁡3xsin⁡2x=sin⁡11xsin⁡10x\sin3x\sin2x=\sin11x\sin10x
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju proizvoda u zbir ili razliku: sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)) \sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac 1 2(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)})

12(cos⁡x−cos⁡5x)=12(cos⁡x−cos⁡21x)\frac 12 (\cos{x}-\cos5x)=\frac 1 2(\cos{x}-\cos21x)
DODATNO OBJAŠNJENJE

Skratiti zajedničke činioce:

cos⁡x−cos⁡5x=cos⁡x−cos⁡21x\cos{x}-\cos5x=\cos{x}-\cos21x
DODATNO OBJAŠNJENJE

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

cos⁡21x−cos⁡5x=0\cos21x-\cos5x=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2 \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}

−2sin⁡13xsin⁡8x=0-2\sin13x\sin8x=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Jednačina ima dva rešenja:

sin⁡13x=0∨sin⁡8x=0\sin13x=0 \quad\lor\quad \sin8x=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=kπ13,k∈Zx=\frac {k\pi} {13}, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=kπ8,k∈Zx=\frac {k\pi} 8, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x∈{kπ13,kπ8},k∈Zx\in\{\frac {k\pi} {13}, \frac {k\pi} 8\},\quad k\in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti