Podeli

449.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos2x\cos3x=\cos5x

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju proizvoda u zbir ili razliku: $\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac 1 2(\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)})$

\frac 1 2(\cos{5x}+\cos{x})=\cos5x

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac 1 2(\cos{(2x+3x)}+\cos{(2x-3x)})=\cos5x

Osloboditi se zagrade množenjem:

\frac 1 2\cos{5x}+\frac 1 2\cos{x}=\cos5x

Pomnožiti ceo izraz sa 2:

\cos{5x}+\cos{x}=2\cos5x

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\cos{x}-\cos5x=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos{5x}+\cos{x}-2\cos5x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

-2\sin{3x}\sin{(-2x)}=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

-2\sin{\frac {x+5x} 2}\sin{\frac {x-5x} 2}=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin3x=0\quad \lor\quad \sin{(-2x)}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {k\pi} 3,\quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

3x=k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {k\pi} 2,\quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

2x=k\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\frac {k\pi} 2, \frac {k\pi} 3\},\quad k\in \mathbb{Z}

449.Trigonometrijska jednačina