437.

Trigonometrijska jednačina

Rešiti jednačinu:

Preobraziti sabirak kako bi se mogla primeniti formula za sinus zbira dva ugla:

Primeniti formulu za sinus zbira dva ugla: $\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

Jednačina ima dva rešenja:

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

Kako bi se došlo do rešenja druge jednačine, potrebno je uvesti smenu i rešiti kvadratnu jednačinu:

Rešavanjem kvadratne jednačine dobija se:

Zameniti smenu početnim izrazom:

Kako je sinusna funkcija definisana samo u skupu $[-1,1] ,$ jedno rešenje se ne uzima u obzir. Rešenje koje odgovara skupu je:

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

Konačno rešenje: