438.

Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

sin⁡4x+cos⁡4x=72sin⁡xcos⁡x\sin^4x+\cos^4x=\frac 7 2\sin{x}\cos{x}
REŠENJE ZADATKA

Dodati i oduzeti 2sin⁡2xcos⁡2x2\sin^2x\cos^2x kako bi se mogla primeniti formula za kvadrat binoma:

sin⁡4x+2sin⁡2xcos⁡2x+cos⁡4x−2sin⁡2xcos⁡2x=72sin⁡xcos⁡x\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x=\frac 7 2\sin{x}\cos{x}

Primeniti formulu za kvadrat binoma: (a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2

(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x=72sin⁡xcos⁡x(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=\frac 7 2\sin{x}\cos{x}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

1−2sin⁡2xcos⁡2x=72sin⁡xcos⁡x1-2\sin^2x\cos^2x=\frac 7 2\sin{x}\cos{x}

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

1−2sin⁡2xcos⁡2x−72sin⁡xcos⁡x=01-2\sin^2x\cos^2x-\frac 7 2\sin{x}\cos{x}=0

Pomnožiti ceo izraz sa -2:

4sin⁡2xcos⁡2x+7sin⁡xcos⁡x−2=04\sin^2x\cos^2x+7\sin{x}\cos{x}-2=0

Uvesti smenu:

sin⁡xcos⁡x=t\sin{x}\cos{x}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

4t2+7t−2=04t^2+7t-2=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t1=−2∨t2=14t_1=-2 \quad\lor\quad t_2=\frac 1 4

Zameniti smenu početnim izrazom:

sin⁡xcos⁡x=−2∨sin⁡xcos⁡x=14\sin{x}\cos{x}=-2 \quad\lor\quad \sin{x}\cos{x}=\frac 1 4

Kako su i sinusna i kosinusna funkcija definisane samo u skupu [−1,1], [-1,1] , jedno rešenje se ne uzima u obzir. Rešenje koje odgovara skupu je:

sin⁡xcos⁡x=14\sin{x}\cos{x}=\frac 1 4

Kako bi se došlo do rešenja jednačine, potrebno je primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α: \sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha} :

12sin⁡2x=14\frac 1 2\sin{2x}=\frac 1 4
DODATNO OBJAŠNJENJE

Pomnožiti ceo izraz sa 2:

sin⁡2x=12\sin{2x}=\frac 1 2

Rešavanjem jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=π12+kπ∨x=5π12+kπ,k∈Zx=\frac {\pi} {12}+k\pi \lor x=\frac {5\pi} {12}+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti