2712.

774.đ

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći trigonometrijski izraz:

tg 40∘+ctg 40∘\text{tg } 40^\circ + \text{ctg } 40^\circ
REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa koristeći identitete tg α=sin⁡αcos⁡α \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} i ctg α=cos⁡αsin⁡α. \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

sin⁡40∘cos⁡40∘+cos⁡40∘sin⁡40∘\frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ}

Svodi se na zajednički imenilac.

sin⁡40∘⋅sin⁡40∘+cos⁡40∘⋅cos⁡40∘sin⁡40∘cos⁡40∘=sin⁡240∘+cos⁡240∘sin⁡40∘cos⁡40∘\frac{\sin 40^\circ \cdot \sin 40^\circ + \cos 40^\circ \cdot \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ} = \frac{\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 u brojiocu.

1sin⁡40∘cos⁡40∘\frac{1}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}

Za imenilac primenjujemo formulu za proizvod sinusa i kosinusa: sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)). \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) .

sin⁡40∘cos⁡40∘=12(sin⁡(40∘+40∘)+sin⁡(40∘−40∘))\sin 40^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\sin(40^\circ + 40^\circ) + \sin(40^\circ - 40^\circ))

Računamo vrednosti uglova u zagradama. Kako je sin⁡0∘=0, \sin 0^\circ = 0 , izraz se uprošćava.

12(sin⁡80∘+sin⁡0∘)=12sin⁡80∘\frac{1}{2}(\sin 80^\circ + \sin 0^\circ) = \frac{1}{2} \sin 80^\circ

Zamenjujemo dobijeni izraz za imenilac nazad u razlomak i sređujemo dvojni razlomak.

112sin⁡80∘=2sin⁡80∘\frac{1}{\frac{1}{2} \sin 80^\circ} = \frac{2}{\sin 80^\circ}