2404.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin(\pi - ̑\alpha) - \cos(\pi + \alpha) \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo pravila za svođenje na oštar ugao za svaki član izraza pojedinačno. Prvi član je cos⁡(π2−α). \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) . Kako je argument oblika π2−α, \frac{\pi}{2} - \alpha , funkcija prelazi u ko-funkciju (sinus), a pošto je ugao u prvom kvadrantu, znak ostaje pozitivan.

cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha

Drugi član je sin⁡(π−α). \sin(\pi - \alpha) . Argument je oblika π−α, \pi - \alpha , što znači da funkcija ostaje ista. Ugao pripada drugom kvadrantu gde je sinus pozitivan.

sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha

Treći član je cos⁡(π+α). \cos(\pi + \alpha) . Funkcija ostaje ista, ali pošto ugao π+α \pi + \alpha pripada trećem kvadrantu, kosinus je tamo negativan.

cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha

Četvrti član je sin⁡(π2−α). \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) . Zbog oblika π2−α, \frac{\pi}{2} - \alpha , funkcija prelazi u kosinus, a znak je pozitivan jer je ugao u prvom kvadrantu.

sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u početni izraz i vršimo množenje.

(sin⁡α)⋅(sin⁡α)−(−cos⁡α)⋅(cos⁡α)(\sin \alpha) \cdot (\sin \alpha) - (-\cos \alpha) \cdot (\cos \alpha)

Sređujemo izraz koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1. \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 .

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti