2403.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz primenom adicionih formula i pravila za svođenje na oštar ugao:

cos⁡(α−3π2)ctg2(π2+α)cos⁡(−α)cos⁡(α+2π)tg2(α−π)\frac{\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos(-\alpha)}{\cos(\alpha + 2\pi) \text{tg}^2(\alpha - \pi)}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pojedinačno odrediti vrednosti svakog člana u brojiocu i imeniocu koristeći pravila svođenja na oštar ugao.

Za prvi član u brojiocu koristimo parnost kosinusa cos⁡(−x)=cos⁡x \cos(-x) = \cos x i pravilo za neparne umnoške π2: \frac{\pi}{2} :

cos⁡(α−3π2)=cos⁡(−(3π2−α))=cos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha

Za drugi član u brojiocu, pošto je funkcija na kvadrat, znak nije presudan, ali pratimo pravilo promene u ko-funkciju:

ctg(π2+α)=−tg α  ⟹  ctg2(π2+α)=(−tg α)2=tg2α\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{tg } \alpha \implies \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = (-\text{tg } \alpha)^2 = \text{tg}^2 \alpha

Treći član u brojiocu koristimo osobinu parnosti kosinusa:

cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha

U imeniocu, kosinus je periodična funkcija sa periodom 2π, 2\pi , a za tangens koristimo periodičnost sa periodom π: \pi :

cos⁡(α+2π)=cos⁡αtg(α−π)=tg α  ⟹  tg2(α−π)=tg2α\begin{aligned} \cos(\alpha + 2\pi) &= \cos \alpha \\ \text{tg}(\alpha - \pi) &= \text{tg } \alpha \implies \text{tg}^2(\alpha - \pi) = \text{tg}^2 \alpha \end{aligned}

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u polazni izraz:

(−sin⁡α)⋅tg2α⋅cos⁡αcos⁡α⋅tg2α\frac{(-\sin \alpha) \cdot \text{tg}^2 \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha}

Skraćivanjem istih članova u brojiocu i imeniocu (cos⁡α \cos \alpha i tg2α \text{tg}^2 \alpha ), dobijamo konačan rezultat:

−sin⁡α-\sin \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti