3182. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati da važi: $A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C) .$

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost skupova, dokazujemo da su elementi leve strane ujedno i elementi desne strane, i obrnuto. To radimo nizom logičkih ekvivalencija. Neka je uređen par $(x, y)$ proizvoljan element.

(x, y) \in A \times (B \setminus C)

Primenjujemo definiciju Dekartovog proizvoda na levu stranu jednakosti.

\iff x \in A \land y \in (B \setminus C)

Zatim primenjujemo definiciju razlike skupova na drugi deo izraza.

\iff x \in A \land (y \in B \land y \notin C)

Koristimo svojstvo distributivnosti logičke konjunkcije (operacije "i").

\iff (x \in A \land y \in B) \land (x \in A \land y \notin C)

Prepoznajemo definiciju Dekartovog proizvoda u prvoj zagradi.

\iff (x, y) \in (A \times B) \land (x \in A \land y \notin C)

Za drugu zagradu, uslov da $x \in A$ i $y \notin C$ znači da uređen par $(x, y)$ ne pripada Dekartovom proizvodu $A \times C .$

\iff (x, y) \in (A \times B) \land (x, y) \notin (A \times C)

Na kraju, primenjujemo definiciju razlike skupova na dobijeni iskaz.

\iff (x, y) \in (A \times B) \setminus (A \times C)

Pošto važi niz ekvivalencija za svaki uređen par $(x, y) ,$ dokazali smo traženu jednakost.

A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)

66.g