3183. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati da važi: $(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)$

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost skupova, pokazaćemo da su uslovi pripadnosti proizvoljnog uređenog para $(x, y)$ ovim skupovima logički ekvivalentni.

Polazimo od definicije Dekartovog proizvoda za levu stranu jednakosti. Uređeni par pripada Dekartovom proizvodu ako prvi element pripada prvom skupu, a drugi element drugom skupu.

(x, y) \in (A \cap B) \times C \iff x \in (A \cap B) \land y \in C

Primenjujemo definiciju preseka skupova na izraz $x \in (A \cap B) .$

\iff (x \in A \land x \in B) \land y \in C

Koristimo svojstva logičke konjunkcije (asocijativnost, komutativnost i idempotenciju) da bismo logički iskaz zapisali u drugačijem obliku. Konkretno, važi pravilo $(P \land Q) \land R \iff (P \land R) \land (Q \land R) .$

\iff (x \in A \land y \in C) \land (x \in B \land y \in C)

Sada primenjujemo definiciju Dekartovog proizvoda unazad na obe zagrade.

\iff (x, y) \in (A \times C) \land (x, y) \in (B \times C)

Na kraju, primenjujemo definiciju preseka skupova na dobijeni logički iskaz.

\iff (x, y) \in (A \times C) \cap (B \times C)

Pošto smo pokazali da je pripadnost proizvoljnog elementa levom skupu logički ekvivalentna pripadnosti desnom skupu, zaključujemo da su ovi skupovi jednaki, čime je dokaz završen.

(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)

66.b