3184. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati da važi:

(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost skupova, pokazujemo da proizvoljan uređeni par $(x, y)$ pripada levoj strani ako i samo ako pripada desnoj strani.

(x, y) \in (A \cup B) \times C

Po definiciji Dekartovog proizvoda, prvi element para pripada prvom skupu, a drugi element drugom skupu.

\iff (x \in A \cup B) \land (y \in C)

Po definiciji unije skupova, element pripada uniji ako pripada prvom ili drugom skupu.

\iff (x \in A \lor x \in B) \land (y \in C)

Primenjujemo zakon distributivnosti konjunkcije (logičkog I) prema disjunkciji (logičkom ILI).

\iff (x \in A \land y \in C) \lor (x \in B \land y \in C)

Primenjujemo definiciju Dekartovog proizvoda unazad na obe zagrade.

\iff ((x, y) \in A \times C) \lor ((x, y) \in B \times C)

Primenjujemo definiciju unije skupova unazad.

\iff (x, y) \in (A \times C) \cup (B \times C)

Nizom ekvivalencija smo stigli od leve do desne strane, čime je jednakost skupova dokazana.

(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)

66.a