1795. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Primetimo da druga jednačina može da se transformiše izvlačenjem zajedničkog faktora $xy .$ Takođe, prva jednačina predstavlja zbir kubova.

\begin{cases} (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 9 \\ xy(x + y) = 6 \end{cases}

Pomnožimo drugu jednačinu sa 3 i saberimo je sa prvom jednačinom kako bismo dobili razvoj kubnog binoma $(x+y)^3 .$

x^3 + y^3 + 3(x^2y + xy^2) = 9 + 3 \cdot 6

Sređivanjem izraza dobijamo:

x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 27 \\ (x + y)^3 = 27

Korenujemo jednačinu u skupu realnih brojeva:

x + y = \sqrt[3]{27} \\ x + y = 3

Sada koristimo dobijenu vrednost $x + y = 3$ i zamenjujemo je u drugu jednačinu originalnog sistema $xy(x + y) = 6 :$

xy \cdot 3 = 6 \\ xy = 2

Sada imamo jednostavniji sistem jednačina koji rešavamo pomoću Vietovih pravila ili metodom zamene:

\begin{cases} x + y = 3 \\ xy = 2 \end{cases}

Iz prve jednačine izrazimo $y$ i zamenimo u drugu:

y = 3 - x \\ x(3 - x) = 2 \\ 3x - x^2 = 2 \\ x^2 - 3x + 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $x :$

x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \\ x_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{2}

Računamo vrednosti za $x$ i odgovarajuće vrednosti za $y :$

x_1 = \frac{4}{2} = 2 \implies y_1 = 3 - 2 = 1 \\ x_2 = \frac{2}{2} = 1 \implies y_2 = 3 - 1 = 2

Konačna rešenja sistema su uređeni parovi:

(x, y) \in \{(2, 1), (1, 2)\}

1795.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate