1834. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Neka je traženi razlomak $\frac{x}{y} .$ Njegova recipročna vrednost je $\frac{y}{x} .$ Na osnovu teksta zadatka postavljamo sistem jednačina:

\begin{cases} \frac{x+3}{y-3} = \frac{y}{x} \\ \frac{x-3}{y+3} = \frac{y}{x} - \frac{78}{55} \end{cases}

Rešavamo prvu jednačinu tako što množimo unakrsno:

x(x+3) = y(y-3)

Množimo zagrade i prebacujemo sve članove na levu stranu:

x^2 + 3x - y^2 + 3y = 0

Grupišemo članove kako bismo faktorisali izraz:

(x^2 - y^2) + 3(x + y) = 0

Primenjujemo razliku kvadrata na prvu zagradu:

(x-y)(x+y) + 3(x+y) = 0

Izvlačimo zajednički činilac $x+y$ ispred zagrade:

(x+y)(x-y+3) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Imamo dva moguća slučaja:

x+y = 0 \quad \text{ili} \quad x-y+3 = 0

Razmotrimo prvi slučaj gde je $x+y = 0 ,$ odnosno $y = -x .$ Zamenom u drugu jednačinu dobijamo:

\frac{x-3}{-x+3} = \frac{-x}{x} - \frac{78}{55}

Sređivanjem ovog izraza dolazimo do kontradikcije, što znači da ovaj slučaj nema rešenja:

-1 = -1 - \frac{78}{55} \implies 0 = -\frac{78}{55}

Zato razmatramo drugi slučaj, $x-y+3 = 0 ,$ odakle izražavamo $y :$

y = x + 3

Menjamo $y = x + 3$ u drugu jednačinu iz početnog sistema:

\frac{x-3}{(x+3)+3} = \frac{x+3}{x} - \frac{78}{55}

Sređujemo imenilac i grupišemo razlomke sa nepoznatima na levu stranu:

\frac{x+3}{x} - \frac{x-3}{x+6} = \frac{78}{55}

Svodimo razlomke na levoj strani na zajednički imenilac:

\frac{(x+3)(x+6) - x(x-3)}{x(x+6)} = \frac{78}{55}

Množimo zagrade u brojiocu:

\frac{x^2 + 9x + 18 - x^2 + 3x}{x^2 + 6x} = \frac{78}{55}

Pojednostavljujemo brojilac:

\frac{12x + 18}{x^2 + 6x} = \frac{78}{55}

Delimo brojilac leve strane i brojilac desne strane sa 6 kako bismo olakšali račun:

\frac{2x + 3}{x^2 + 6x} = \frac{13}{55}

Množimo unakrsno:

55(2x + 3) = 13(x^2 + 6x)

Oslobađamo se zagrada:

110x + 165 = 13x^2 + 78x

Prebacujemo sve članove na desnu stranu i formiramo kvadratnu jednačinu:

13x^2 - 32x - 165 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine:

D = (-32)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-165) = 1024 + 8580 = 9604

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine (koren iz 9604 je 98):

x_{1,2} = \frac{32 \pm 98}{26}

Prvo rešenje je ceo broj, što odgovara brojiocu traženog razlomka:

x_1 = \frac{130}{26} = 5

Drugo rešenje odbacujemo jer ne predstavlja celobrojni brojilac u kontekstu ovog zadatka:

x_2 = -\frac{66}{26} = -\frac{33}{13}

Za $x = 5 ,$ računamo imenilac $y :$

y = 5 + 3 = 8

Traženi razlomak je:

\frac{5}{8}

1834.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate