1768. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Iz druge (linearne) jednačine izražavamo jednu nepoznatu preko druge. Najlakše je izraziti $x :$

x = 4 - 2y

Sada dobijeni izraz za $x$ zamenjujemo u prvu (kvadratnu) jednačinu:

(4 - 2y)^2 + y^2 - (4 - 2y)y + (4 - 2y) = 5

Kvadriramo binom i sređujemo izraz:

(16 - 16y + 4y^2) + y^2 - (4y - 2y^2) + 4 - 2y = 5

Oslobađamo se zagrada i grupišemo članove po stepenima nepoznate $y :$

16 - 16y + 4y^2 + y^2 - 4y + 2y^2 + 4 - 2y - 5 = 0

Sabiramo slične članove kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $y :$

7y^2 - 22y + 15 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene:

y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 15}}{2 \cdot 7}

Računamo vrednost diskriminante i korena:

y_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 420}}{14} = \frac{22 \pm \sqrt{64}}{14} = \frac{22 \pm 8}{14}

Dobijamo dve vrednosti za $y :$

y_1 = \frac{22 + 8}{14} = \frac{30}{14} = \frac{15}{7}, \quad y_2 = \frac{22 - 8}{14} = \frac{14}{14} = 1

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za $x$ koristeći izraz $x = 4 - 2y :$

x_1 = 4 - 2 \cdot \frac{15}{7} = 4 - \frac{30}{7} = \frac{28 - 30}{7} = -\frac{2}{7} \\ x_2 = 4 - 2 \cdot 1 = 2

Rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) :$

(x_1, y_1) = \left(-\frac{2}{7}, \frac{15}{7}\right), \quad (x_2, y_2) = (2, 1)

1768.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate