1767. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Uvodimo smene $u = x + y$ i $v = xy .$ Primetimo da se izraz $x^2 + y^2$ može zapisati preko ovih smena kao $(x + y)^2 - 2xy ,$ odnosno $u^2 - 2v .$

x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v

Zamenjujemo smene u originalni sistem jednačina:

\begin{cases} (u^2 - 2v) + v = 13 \\ u + v = 7 \end{cases}

Sređujemo prvu jednačinu i izražavamo $v$ iz druge jednačine:

\begin{cases} u^2 - v = 13 \\ v = 7 - u \end{cases}

Zamenjujemo $v = 7 - u$ u prvu jednačinu:

u^2 - (7 - u) = 13 \\ u^2 + u - 7 - 13 = 0 \\ u^2 + u - 20 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $u :$

u_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $u ,$ a zatim računamo odgovarajuće vrednosti za $v :$

1) \ u_1 = 4 \implies v_1 = 7 - 4 = 3 \\ 2) \ u_2 = -5 \implies v_2 = 7 - (-5) = 12

Sada rešavamo sisteme po $x$ i $y$ koristeći Vijetova pravila. Za prvi slučaj $u = 4, v = 3 ,$ $x$ i $y$ su koreni jednačine $t^2 - ut + v = 0 :$

t^2 - 4t + 3 = 0 \\ (t - 1)(t - 3) = 0 \\ t_1 = 1, \ t_2 = 3

Iz prvog slučaja dobijamo rešenja:

(x_1, y_1) = (1, 3), \quad (x_2, y_2) = (3, 1)

Za drugi slučaj $u = -5, v = 12 ,$ formiramo kvadratnu jednačinu:

t^2 + 5t + 12 = 0

Proveravamo diskriminantu ove jednačine:

D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 - 48 = -23

Pošto je $D < 0 ,$ u ovom slučaju nema realnih rešenja. Konačna realna rešenja sistema su:

(x, y) \in \{(1, 3), (3, 1)\}

1767.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate