1766. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Prvo određujemo uslove pod kojima su jednačine definisane. Imenitelji ne smeju biti nula.

x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 \\ y + 3 \neq 0 \implies y \neq -3

Iz druge (linearne) jednačine izražavamo jednu promenljivu preko druge. Izrazimo $y :$

3x - 2y - 2 = 0 \implies 2y = 3x - 2 \implies y = \frac{3x - 2}{2}

Zamenjujemo izraz za $y$ u prvu jednačinu:

\frac{1}{x - 2} + \frac{4}{\frac{3x - 2}{2} + 3} = 1

Sređujemo imenitelj drugog razlomka:

\frac{3x - 2}{2} + 3 = \frac{3x - 2 + 6}{2} = \frac{3x + 4}{2}

Sada jednačina postaje:

\frac{1}{x - 2} + \frac{4}{\frac{3x + 4}{2}} = 1 \implies \frac{1}{x - 2} + \frac{8}{3x + 4} = 1

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniteljem $(x - 2)(3x + 4) :$

(3x + 4) + 8(x - 2) = (x - 2)(3x + 4)

Oslobađamo se zagrada i sređujemo kvadratnu jednačinu:

3x + 4 + 8x - 16 = 3x^2 + 4x - 6x - 8 \\ 11x - 12 = 3x^2 - 2x - 8 \\ 3x^2 - 13x + 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu pomoću formule:

x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 48}}{6} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{6}

Dobijamo dve vrednosti za $x :$

x_1 = \frac{13 + 11}{6} = 4, \quad x_2 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Računamo odgovarajuće vrednosti za $y$ koristeći vezu $y = \frac{3x - 2}{2} :$

y_1 = \frac{3(4) - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \\ y_2 = \frac{3(\frac{1}{3}) - 2}{2} = \frac{1 - 2}{2} = -\frac{1}{2}

Proveravamo uslove definisanosti. Pošto je $x_1=4, x_2=1/3 \neq 2$ i $y_1=5, y_2=-1/2 \neq -3 ,$ oba rešenja su validna.

(x_1, y_1) = (4, 5), \quad (x_2, y_2) = \left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}\right)

1766.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate