1769. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Uvodimo smene $u = x + y$ i $v = xy .$ Izraz $x^2 + y^2$ možemo zapisati preko ovih smena koristeći identitet $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy .$

x^2 + y^2 = u^2 - 2v

Zamenjujemo smene u originalni sistem jednačina:

\begin{cases} u^2 - 2v = 17 \\ u + v = 9 \end{cases}

Iz druge jednačine izražavamo $v$ i zamenjujemo u prvu jednačinu:

v = 9 - u \\ u^2 - 2(9 - u) = 17

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu po $u :$

u^2 - 18 + 2u = 17 \\ u^2 + 2u - 35 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $u$ koristeći formulu:

u_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-35)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-2 \pm 12}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $u ,$ a zatim računamo odgovarajuće vrednosti za $v :$

1) \ u_1 = 5 \implies v_1 = 9 - 5 = 4 \\ 2) \ u_2 = -7 \implies v_2 = 9 - (-7) = 16

Sada rešavamo sisteme po $x$ i $y$ za svaki par $(u, v) .$ Prvi slučaj:

\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases}

Rešenja ovog pod sistema su koreni kvadratne jednačine $t^2 - ut + v = 0 :$

t^2 - 5t + 4 = 0 \implies (t-1)(t-4) = 0 \\ (x_1, y_1) = (1, 4), \quad (x_2, y_2) = (4, 1)

Drugi slučaj:

\begin{cases} x + y = -7 \\ xy = 16 \end{cases}

Formiramo kvadratnu jednačinu za drugi slučaj:

t^2 + 7t + 16 = 0

Proveravamo diskriminantu ove jednačine:

D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15

Pošto je diskriminanta negativna ( $D < 0$ ), u ovom slučaju nema realnih rešenja. Konačna rešenja sistema su:

(x, y) \in \{(1, 4), (4, 1)\}

1769.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate