1760.

319.a

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeći sistem kvadratnih jednačina:

{x+2y=7xy=6\begin{cases} x + 2y = 7 \\ xy = 6 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Iz prve jednačine izražavamo promenljivu x x preko promenljive y. y .

x=7−2yx = 7 - 2y

Zamenjujemo izraz za x x u drugu jednačinu sistema.

(7−2y)y=6(7 - 2y)y = 6

Sređujemo dobijenu jednačinu množenjem zagrade sa y. y .

7y−2y2=67y - 2y^2 = 6

Prebacujemo sve članove na jednu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku.

2y2−7y+6=02y^2 - 7y + 6 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine po formuli D=b2−4ac. D = b^2 - 4ac .

D=(−7)2−4⋅2⋅6=49−48=1D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1

Računamo rešenja za y y koristeći kvadratnu formulu.

y1,2=−b±D2a=7±14y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{4}

Dobijamo dve vrednosti za y. y .

y1=7+14=2,y2=7−14=64=32y_1 = \frac{7 + 1}{4} = 2, \quad y_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za x x koristeći ranije izvedenu vezu x=7−2y. x = 7 - 2y .

Za y1=2:x1=7−2⋅2=7−4=3Za y2=32:x2=7−2⋅32=7−3=4\text{Za } y_1 = 2: \quad x_1 = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3 \\ \text{Za } y_2 = \frac{3}{2}: \quad x_2 = 7 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 7 - 3 = 4

Zapisujemo skup rešenja sistema kao uređene parove (x,y). (x, y) .

(x,y)∈{(3,2),(4,32)}(x, y) \in \left\{ (3, 2), \left(4, \frac{3}{2}\right) \right\}