1755. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Prvo ćemo transformisati prvu jednačinu sistema kako bismo je lakše povezali sa drugom jednačinom. Razvijamo desnu stranu prve jednačine.

x^2 + y^2 = 2xy + 4

Prebacujemo član $2xy$ na levu stranu jednačine kako bismo prepoznali kvadrat binoma.

x^2 - 2xy + y^2 = 4

Levu stranu jednačine zapisujemo kao kvadrat razlike.

(x - y)^2 = 4

Iz ove jednačine dobijamo dva moguća slučaja za razliku promenljivih $x$ i $y .$

x - y = 2 \quad \text{ili} \quad x - y = -2

Sada rešavamo prvi slučaj koristeći drugu jednačinu sistema $x + y = 6 .$

\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 6 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine eliminišemo $y .$

(x - y) + (x + y) = 2 + 6 \implies 2x = 8 \implies x_1 = 4

Vrednost $y_1$ računamo uvrštavanjem $x_1$ u jednačinu $x + y = 6 .$

4 + y = 6 \implies y_1 = 2

Sada rešavamo drugi slučaj.

\begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases}

Sabiranjem jednačina u drugom slučaju dobijamo:

(x - y) + (x + y) = -2 + 6 \implies 2x = 4 \implies x_2 = 2

Vrednost $y_2$ računamo uvrštavanjem $x_2$ u jednačinu $x + y = 6 .$

2 + y = 6 \implies y_2 = 4

Rešenja sistema su uređeni parovi:

(x, y) \in \{(4, 2), (2, 4)\}

1755.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate