1756. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Iz prve jednačine izražavamo $x^2$ preko $y :$

x^2 = y + 23

Zamenjujemo izraz za $x^2$ u drugu jednačinu sistema:

(y + 23)y = 50

Sređujemo dobijenu jednačinu po $y$ kako bismo dobili kvadratnu jednačinu:

y^2 + 23y - 50 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine koristeći formulu:

y_{1,2} = \frac{-23 \pm \sqrt{23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50)}}{2 \cdot 1} = \frac{-23 \pm \sqrt{529 + 200}}{2} = \frac{-23 \pm \sqrt{729}}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $y :$

y_1 = \frac{-23 + 27}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{-23 - 27}{2} = -25

Sada tražimo odgovarajuće vrednosti za $x$ za svako $y .$ Prvo za $y_1 = 2 :$

x^2 = 2 + 23 = 25 \implies x = \pm 5

Zatim proveravamo za $y_2 = -25 :$

x^2 = -25 + 23 = -2

Pošto jednačina $x^2 = -2$ nema realnih rešenja, ovaj slučaj odbacujemo (ako tražimo rešenja u skupu realnih brojeva).

x \in \emptyset, \quad x \in \mathbb{R}

Konačna rešenja sistema su uređeni parovi:

(x, y) \in \{(5, 2), (-5, 2)\}

1756.Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate