Podeli

2985.
Sinusna i kosinusna teorema i primena

REŠENJE ZADATKA

Neka je dat trapez $ABCD$ sa osnovicama $AB = a = 15$ i $CD = c = 7$ i kracima $BC = b = 9$ i $AD = d = 6 .$

Povucimo pravu kroz teme $C$ koja je paralelna sa krakom $AD .$ Neka ta prava seče osnovicu $AB$ u tački $E .$

Četvorougao $AECD$ je paralelogram jer ima dva para paralelnih naspramnih stranica. Zbog toga je $AE = CD = 7$ i $CE = AD = 6 .$

Dužinu duži $EB$ računamo kao razliku dužina osnovica:

EB = AB - AE = a - c = 15 - 7 = 8

Posmatrajmo trougao $\triangle EBC .$ Njegove stranice su $EB = 8 ,$ $BC = 9$ i $CE = 6 .$

Ugao $\angle CEB$ jednak je uglu $\angle DAB = \alpha$ (kao uglovi sa paralelnim kracima), a ugao $\angle CBE$ je ugao $\beta$ trapeza.

Primenjujemo kosinusnu teoremu na trougao $\triangle EBC$ da bismo odredili ugao $\alpha ,$ koji se nalazi naspram stranice $BC :$

BC^2 = EB^2 + CE^2 - 2 \cdot EB \cdot CE \cdot \cos \alpha

Zamenjujemo poznate vrednosti i računamo $\cos \alpha :$

9^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos \alpha \\ 81 = 64 + 36 - 96 \cos \alpha \\ 96 \cos \alpha = 100 - 81 \\ 96 \cos \alpha = 19 \\ \cos \alpha = \frac{19}{96}

Sada primenjujemo kosinusnu teoremu da bismo odredili ugao $\beta ,$ koji se nalazi naspram stranice $CE :$

CE^2 = EB^2 + BC^2 - 2 \cdot EB \cdot BC \cdot \cos \beta

Zamenjujemo poznate vrednosti i računamo $\cos \beta :$

6^2 = 8^2 + 9^2 - 2 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \cos \beta \\ 36 = 64 + 81 - 144 \cos \beta \\ 144 \cos \beta = 145 - 36 \\ 144 \cos \beta = 109 \\ \cos \beta = \frac{109}{144}

Pošto su kosinusi oba ugla pozitivni, oba ugla su oštra. Njihove vrednosti su:

\alpha = \arccos \frac{19}{96}, \quad \beta = \arccos \frac{109}{144}

2985.Sinusna i kosinusna teorema i primena