2984.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

U oštrouglom trouglu zadate su stranice a=1, a = 1 , b=2 b = 2 i površina P=1213. P = \frac{12}{13} . Izračunati zbir kvadrata sinusa uglova tog trougla.

REŠENJE ZADATKA

Koristimo formulu za površinu trougla kako bismo odredili sinus ugla γ \gamma koji zahvataju stranice a a i b. b .

P=12absin⁡γ  ⟹  1213=12⋅1⋅2⋅sin⁡γ  ⟹  sin⁡γ=1213P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \implies \frac{12}{13} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \sin \gamma \implies \sin \gamma = \frac{12}{13}

Pošto je trougao oštrougli, svi uglovi su manji od 90∘, 90^\circ , pa je kosinus ugla pozitivan. Računamo cos⁡γ \cos \gamma koristeći osnovni trigonometrijski identitet.

cos⁡γ=1−sin⁡2γ=1−(1213)2=1−144169=25169=513\cos \gamma = \sqrt{1 - \sin^2 \gamma} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}

Primenjujemo kosinusnu teoremu da bismo izračunali kvadrat treće stranice c. c .

c2=a2+b2−2abcos⁡γ=12+22−2⋅1⋅2⋅513=1+4−2013=5−2013=4513c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \frac{5}{13} = 1 + 4 - \frac{20}{13} = 5 - \frac{20}{13} = \frac{45}{13}

Iz sinusne teoreme asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} izražavamo kvadrate sinusa preostala dva ugla.

sin⁡2α=a2sin⁡2γc2,sin⁡2β=b2sin⁡2γc2\sin^2 \alpha = \frac{a^2 \sin^2 \gamma}{c^2}, \quad \sin^2 \beta = \frac{b^2 \sin^2 \gamma}{c^2}

Zamenjujemo poznate vrednosti da bismo izračunali sin⁡2α. \sin^2 \alpha .

sin⁡2α=12⋅(1213)24513=1441694513=144⋅13169⋅45=1613⋅5=1665\sin^2 \alpha = \frac{1^2 \cdot \left(\frac{12}{13}\right)^2}{\frac{45}{13}} = \frac{\frac{144}{169}}{\frac{45}{13}} = \frac{144 \cdot 13}{169 \cdot 45} = \frac{16}{13 \cdot 5} = \frac{16}{65}

Na isti način računamo sin⁡2β. \sin^2 \beta .

sin⁡2β=22⋅(1213)24513=4⋅1665=6465\sin^2 \beta = \frac{2^2 \cdot \left(\frac{12}{13}\right)^2}{\frac{45}{13}} = 4 \cdot \frac{16}{65} = \frac{64}{65}

Sada računamo traženi zbir kvadrata sinusa svih uglova trougla.

sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ=1665+6465+(1213)2=8065+144169=1613+144169=16⋅13+144169=352169\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = \frac{16}{65} + \frac{64}{65} + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{80}{65} + \frac{144}{169} = \frac{16}{13} + \frac{144}{169} = \frac{16 \cdot 13 + 144}{169} = \frac{352}{169}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti