Rešavanje trougla iz b − c, a i razlike uglova

Za rešavanje ovog zadatka najpogodnije je iskoristiti prvu Molvajdovu formulu koja direktno povezuje date elemente trougla.

\frac{b-c}{a} = \frac{\sin \frac{\beta-\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}

Iz ove formule izražavamo $\cos \frac{\alpha}{2}$ kako bismo odredili nepoznati ugao $\alpha .$

\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{a \sin \frac{\beta-\gamma}{2}}{b-c}

Kako je $\alpha$ unutrašnji ugao trougla, važi $0^\circ < \alpha < 180^\circ ,$ odnosno $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ .$ Zbog toga je vrednost kosinusa uvek pozitivna, pa ugao $\alpha$ možemo jednoznačno odrediti.

\alpha = 2 \arccos \left( \frac{a \sin \frac{\beta-\gamma}{2}}{b-c} \right)

Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je $180^\circ ,$ pa zbir uglova $\beta$ i $\gamma$ možemo zapisati kao:

\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha

Rešavanjem sistema jednačina koji čine poznata razlika $\beta - \gamma$ i upravo određeni zbir $\beta + \gamma ,$ dobijamo nepoznate uglove $\beta$ i $\gamma .$

\beta = \frac{180^\circ - \alpha + (\beta - \gamma)}{2}, \quad \gamma = \frac{180^\circ - \alpha - (\beta - \gamma)}{2}

Preostale stranice $b$ i $c$ najjednostavnije je odrediti korišćenjem sinusne teoreme.

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

Iz sinusne teoreme direktno izražavamo dužine stranica $b$ i $c .$

b = a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}, \quad c = a \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}

Započni učenje

Online časovi

1008.г

Beleške