2986.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao ako su dati njegovi elementi: b−c,a,β−γ b - c, a, \beta - \gamma ;

REŠENJE ZADATKA

Za rešavanje ovog zadatka najpogodnije je iskoristiti prvu Molvajdovu formulu koja direktno povezuje date elemente trougla.

b−ca=sin⁡β−γ2cos⁡α2\frac{b-c}{a} = \frac{\sin \frac{\beta-\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}

Iz ove formule izražavamo cos⁡α2 \cos \frac{\alpha}{2} kako bismo odredili nepoznati ugao α. \alpha .

cos⁡α2=asin⁡β−γ2b−c\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{a \sin \frac{\beta-\gamma}{2}}{b-c}

Kako je α \alpha unutrašnji ugao trougla, važi 0∘<α<180∘, 0^\circ < \alpha < 180^\circ , odnosno 0∘<α2<90∘. 0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ . Zbog toga je vrednost kosinusa uvek pozitivna, pa ugao α \alpha možemo jednoznačno odrediti.

α=2arccos⁡(asin⁡β−γ2b−c)\alpha = 2 \arccos \left( \frac{a \sin \frac{\beta-\gamma}{2}}{b-c} \right)

Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180∘, 180^\circ , pa zbir uglova β \beta i γ \gamma možemo zapisati kao:

β+γ=180∘−α\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha

Rešavanjem sistema jednačina koji čine poznata razlika β−γ \beta - \gamma i upravo određeni zbir β+γ, \beta + \gamma , dobijamo nepoznate uglove β \beta i γ. \gamma .

β=180∘−α+(β−γ)2,γ=180∘−α−(β−γ)2\beta = \frac{180^\circ - \alpha + (\beta - \gamma)}{2}, \quad \gamma = \frac{180^\circ - \alpha - (\beta - \gamma)}{2}

Preostale stranice b b i c c najjednostavnije je odrediti korišćenjem sinusne teoreme.

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

Iz sinusne teoreme direktno izražavamo dužine stranica b b i c. c .

b=asin⁡βsin⁡α,c=asin⁡γsin⁡αb = a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}, \quad c = a \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti