1488.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

(m+2)x2−2(m+1)x+m=0, (m + 2)x^2 - 2(m + 1)x + m = 0 , x12+x22=109. x_1^2 + x_2^2 = \frac{10}{9} .

REŠENJE ZADATKA

Da bi data jednačina bila kvadratna, koeficijent uz x2 x^2 mora biti različit od nule.

m+2≠0  ⟹  m≠−2m + 2 \neq 0 \implies m \neq -2

Proveravamo diskriminantu da bismo bili sigurni da su rešenja realna. Računamo diskriminantu D=b2−4ac. D = b^2 - 4ac .

D=[−2(m+1)]2−4(m+2)mD = [-2(m + 1)]^2 - 4(m + 2)m

Sređivanjem izraza za diskriminantu dobijamo da je uvek pozitivna, pa jednačina ima realna rešenja za svako m≠−2. m \neq -2 .

D=4(m2+2m+1)−4(m2+2m)=4>0D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 + 2m) = 4 > 0

Prema Vijetovim formulama, zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine dati su sa x1+x2=−ba x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} i x1⋅x2=ca. x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} .

x1+x2=2(m+1)m+2,x1x2=mm+2x_1 + x_2 = \frac{2(m + 1)}{m + 2}, \quad x_1 x_2 = \frac{m}{m + 2}

Transformišemo dati uslov dodavanjem i oduzimanjem 2x1x2 2x_1x_2 kako bismo mogli da upotrebimo Vijetove formule.

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=109x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \frac{10}{9}

Zamenjujemo izraze dobijene iz Vijetovih formula u transformisani uslov.

(2(m+1)m+2)2−2mm+2=109\left(\frac{2(m + 1)}{m + 2}\right)^2 - 2\frac{m}{m + 2} = \frac{10}{9}

Kvadriramo prvi razlomak i svodimo izraz na levoj strani na zajednički imenilac (m+2)2. (m + 2)^2 .

4(m2+2m+1)(m+2)2−2m(m+2)(m+2)2=109\frac{4(m^2 + 2m + 1)}{(m + 2)^2} - \frac{2m(m + 2)}{(m + 2)^2} = \frac{10}{9}

Sređujemo brojilac na levoj strani jednakosti oduzimanjem odgovarajućih članova.

4m2+8m+4−2m2−4m(m+2)2=2m2+4m+4(m+2)2\frac{4m^2 + 8m + 4 - 2m^2 - 4m}{(m + 2)^2} = \frac{2m^2 + 4m + 4}{(m + 2)^2}

Izjednačavamo dobijeni izraz sa desnom stranom i množimo unakrsno kako bismo se oslobodili razlomaka.

9(2m2+4m+4)=10(m+2)29(2m^2 + 4m + 4) = 10(m + 2)^2

Razvijamo kvadrat binoma na desnoj strani i množimo oba izraza sa odgovarajućim konstantama.

18m2+36m+36=10(m2+4m+4)18m^2 + 36m + 36 = 10(m^2 + 4m + 4)

Sređujemo desnu stranu jednačine.

18m2+36m+36=10m2+40m+4018m^2 + 36m + 36 = 10m^2 + 40m + 40

Prebacujemo sve članove na levu stranu i grupišemo ih kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po parametru m. m .

8m2−4m−4=08m^2 - 4m - 4 = 0

Delimo celu jednačinu sa 4 radi lakšeg rešavanja.

2m2−m−1=02m^2 - m - 1 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po m m korišćenjem formule za kvadratnu jednačinu.

m1,2=−(−1)±(−1)2−4⋅2⋅(−1)2⋅2=1±94m_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}

Računamo konačna rešenja za parametar m. m . Oba rešenja su prihvatljiva jer ispunjavaju početni uslov m≠−2. m \neq -2 .

m1=1,m2=−12m_1 = 1, \quad m_2 = -\frac{1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti