3543.

232.a

TEKST ZADATKA

Neka je x=8,5±0,3 x = 8,5 \pm 0,3 i y=4,5±0,1. y = 4,5 \pm 0,1 . Izračunati: x+yx−y \frac{x + y}{x - y} ;

REŠENJE ZADATKA

Iz postavke zadatka izdvajamo približne vrednosti brojeva i njihove apsolutne greške:

x≈8,5,Δx=0,3y≈4,5,Δy=0,1\begin{aligned} x &\approx 8{,}5, \quad \Delta x = 0{,}3 \\ y &\approx 4{,}5, \quad \Delta y = 0{,}1 \end{aligned}

Obeležimo brojilac sa u=x+y u = x + y i imenilac sa v=x−y. v = x - y . Računamo približnu vrednost i apsolutnu grešku za zbir u: u :

u≈8,5+4,5=13,0Δu=Δx+Δy=0,3+0,1=0,4\begin{aligned} u &\approx 8{,}5 + 4{,}5 = 13{,}0 \\ \Delta u &= \Delta x + \Delta y = 0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}4 \end{aligned}

Zatim računamo približnu vrednost i apsolutnu grešku za razliku v: v :

v≈8,5−4,5=4,0Δv=Δx+Δy=0,3+0,1=0,4\begin{aligned} v &\approx 8{,}5 - 4{,}5 = 4{,}0 \\ \Delta v &= \Delta x + \Delta y = 0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}4 \end{aligned}

Sada računamo približnu vrednost traženog količnika z=uv: z = \frac{u}{v} :

z≈13,04,0=3,25z \approx \frac{13{,}0}{4{,}0} = 3{,}25

Relativna greška količnika jednaka je zbiru relativnih grešaka brojioca i imenioca:

δz=δu+δv=Δu∣u∣+Δv∣v∣\delta z = \delta u + \delta v = \frac{\Delta u}{|u|} + \frac{\Delta v}{|v|}

Zamenjujemo poznate vrednosti da bismo izračunali relativnu grešku količnika:

δz=0,413,0+0,44,0=4130+110=4+13130=17130\delta z = \frac{0{,}4}{13{,}0} + \frac{0{,}4}{4{,}0} = \frac{4}{130} + \frac{1}{10} = \frac{4 + 13}{130} = \frac{17}{130}

Apsolutnu grešku količnika Δz \Delta z dobijamo množenjem približne vrednosti količnika i njegove relativne greške:

Δz=∣z∣⋅δz=3,25⋅17130\Delta z = |z| \cdot \delta z = 3{,}25 \cdot \frac{17}{130}

Računamo konačnu vrednost apsolutne greške:

Δz=325100⋅17130=134⋅17130=1740=0,425\Delta z = \frac{325}{100} \cdot \frac{17}{130} = \frac{13}{4} \cdot \frac{17}{130} = \frac{17}{40} = 0{,}425

Konačan rezultat zapisujemo u obliku z±Δz: z \pm \Delta z :

x+yx−y=3,25±0,425\frac{x + y}{x - y} = 3{,}25 \pm 0{,}425