47.

Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Izračunati integral:

∫ln⁡xx2dx\int{\frac{\ln{x}}{x^2}dx}
REŠENJE ZADATKA

Izraz se može drugačije zapisati:

∫ln⁡x⋅x−2dx\int{\ln{x}} \cdot x^{-2} dx

Da bi se rešio dati integral koristi se metod parcijalne integracije. Potrebno je dati integral razdvojiti na dva dela: uu i dvdv deo.

u=ln⁡xdv=x−2dxu = \ln{x} \quad dv = x^{-2}dx

Izračunati izvod funkcije uu u odnosu na x.x.

du=1x dxdu = \frac{1}{x} \space dx

Izračunati integral od dvdv da bi se dobilo v.v.

v=∫x−2dx=x−1−1 =−1xv = \int{x^{-2} }dx = \frac{x^{-1} }{-1} = -\frac{1}{x}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du \int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}

−ln⁡x⋅1x−∫(−1x)⋅1xdx-\ln{x} \cdot \frac{1}{x} - \int{(-\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx}

Srediti izraz.

−ln⁡x⋅1x+∫1x2dx-\ln{x} \cdot \frac{1}{x} + \int{\frac{1}{x^2} dx}

Izračunati tablični integrali: ∫xndx=xn+1n+1+C,n≠−1 \int{x^n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1

−ln⁡x⋅1x−1x+C-\ln{x} \cdot \frac{1}{x} -\frac{1}{x} + C

Srediti izraz:

−ln⁡x+1x+C-\frac{\ln{x} + 1}{x} + C

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti