48. Parcijalna integracija

Izračunati integral:

\int{(2x + 3) \cdot \ln{x} \space dx}

Integral $\int{(2x + 3) \cdot \ln{x} \space dx}$ razdvojiti na dva integrala korišćenjem pravila: $\int{f(x) \pm g(x) } = \int{f(x)dx \pm \int{g(x)dx}}$

\int{2x \cdot \ln{x} \space dx} + \int{3 \cdot \ln{x} \space dx}

Izdvojiti konstante ispred zagrade koristeći pravilo: $\int{kf(x)dx} = k\int{f(x)dx}$

2 \int{x \cdot \ln{x} \space dx} + 3 \int{\ln{x} \space dx}

Integral $\int{x \cdot \ln{x} \space dx}$ rešava se metodom parcijalne integracije. Za $u$ i $dv$ bira se:

u_{1}=\ln{x} \quad dv_{1}=x \space dx

du_{1}=\frac{1}{x}\space dx \quad v_{1}=\frac{x^2}{2}

Integral $\int{\ln{x} \space dx}$ rešava se takođe metodom parcijalne integracije. Za $u$ i $dv$ bira se:

u_{2}=\ln{x} \quad dv_{2}=dx

du_{2}=\frac{1}{x}\space dx \quad v_{2}=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du} .$

2\space (\frac{x^2}{2} \cdot \ln{x} - \int{\frac{\cancel{x^2}}{2} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} \space dx}) + 3 \space (x \cdot \ln{x} - \int{\cancel{x} \cdot \frac{1}{\cancel{x}}dx})

Srediti izraz.

2 \space (\ln{x} \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \int{x \space dx}) + 3 \space (x \cdot \ln{x} - \int{dx}) = x^2 \cdot \ln{x} - \int{x \space dx} \space + \space 3x\cdot \ln{x} - 3 \int{dx}

Izračunati tablične integrale.

x^2 \cdot \ln{x} - \frac{x^2}{2} \space + \space 3x\cdot \ln{x} - 3x

48.Parcijalna integracija

48.
Parcijalna integracija