2050.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Odrediti sin⁡α \sin \alpha i cos⁡α, \cos \alpha , ako je 3sin⁡α+4cos⁡α=5. 3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha = 5 .

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo osnovni trigonometrijski identitet koji povezuje sinus i kosinus ugla.

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Iz date jednačine izrazimo sin⁡α \sin \alpha preko cos⁡α. \cos \alpha .

3sin⁡α=5−4cos⁡α  ⟹  sin⁡α=5−4cos⁡α33 \sin \alpha = 5 - 4 \cos \alpha \implies \sin \alpha = \frac{5 - 4 \cos \alpha}{3}

Zamenimo dobijeni izraz za sin⁡α \sin \alpha u osnovni trigonometrijski identitet.

(5−4cos⁡α3)2+cos⁡2α=1\left( \frac{5 - 4 \cos \alpha}{3} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1

Kvadriramo izraz u zagradi.

25−40cos⁡α+16cos⁡2α9+cos⁡2α=1\frac{25 - 40 \cos \alpha + 16 \cos^2 \alpha}{9} + \cos^2 \alpha = 1

Pomnožimo celu jednačinu sa 9 kako bismo se oslobodili razlomka.

25−40cos⁡α+16cos⁡2α+9cos⁡2α=925 - 40 \cos \alpha + 16 \cos^2 \alpha + 9 \cos^2 \alpha = 9

Sredimo jednačinu tako što ćemo grupisati slične članove.

25cos⁡2α−40cos⁡α+16=025 \cos^2 \alpha - 40 \cos \alpha + 16 = 0

Prepoznajemo kvadrat binoma na levoj strani jednačine.

(5cos⁡α−4)2=0(5 \cos \alpha - 4)^2 = 0

Rešavamo jednačinu po cos⁡α. \cos \alpha .

5cos⁡α−4=0  ⟹  cos⁡α=455 \cos \alpha - 4 = 0 \implies \cos \alpha = \frac{4}{5}

Sada kada imamo vrednost za cos⁡α, \cos \alpha , vraćamo se u izraz za sin⁡α \sin \alpha da bismo odredili njegovu vrednost.

sin⁡α=5−4⋅453\sin \alpha = \frac{5 - 4 \cdot \frac{4}{5}}{3}

Sređujemo izraz za sin⁡α. \sin \alpha .

sin⁡α=5−1653=25−1653=953\sin \alpha = \frac{5 - \frac{16}{5}}{3} = \frac{\frac{25 - 16}{5}}{3} = \frac{\frac{9}{5}}{3}

Konačno, dobijamo vrednost za sin⁡α. \sin \alpha .

sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti