2049.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Pokazati da izraz sin⁡α+tg⁡αcos⁡α+ctg⁡α \frac{\sin \alpha + \tg \alpha}{\cos \alpha + \ctg \alpha} ne može biti negativan ni za koje α. \alpha .

REŠENJE ZADATKA

Zamenjujemo funkcije tangens i kotangens njihovim osnovnim definicijama preko sinusa i kosinusa:

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α,ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Ubacujemo ove definicije u početni izraz:

sin⁡α+sin⁡αcos⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α\frac{\sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\cos \alpha + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}

Izvlačimo zajedničke činioce. U brojiocu izvlačimo sin⁡α, \sin \alpha , a u imeniocu cos⁡α: \cos \alpha :

sin⁡α(1+1cos⁡α)cos⁡α(1+1sin⁡α)\frac{\sin \alpha \left(1 + \frac{1}{\cos \alpha}\right)}{\cos \alpha \left(1 + \frac{1}{\sin \alpha}\right)}

Svodićemo izraze u zagradama na zajednički imenilac:

sin⁡α(cos⁡α+1cos⁡α)cos⁡α(sin⁡α+1sin⁡α)\frac{\sin \alpha \left(\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha}\right)}{\cos \alpha \left(\frac{\sin \alpha + 1}{\sin \alpha}\right)}

Sređujemo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova:

sin⁡α(cos⁡α+1)⋅sin⁡αcos⁡α(sin⁡α+1)⋅cos⁡α\frac{\sin \alpha (\cos \alpha + 1) \cdot \sin \alpha}{\cos \alpha (\sin \alpha + 1) \cdot \cos \alpha}

Množenjem odgovarajućih članova dobijamo:

sin⁡2α(cos⁡α+1)cos⁡2α(sin⁡α+1)\frac{\sin^2 \alpha (\cos \alpha + 1)}{\cos^2 \alpha (\sin \alpha + 1)}

Grupišemo kvadrate sinusa i kosinusa koristeći definiciju tangensa:

sin⁡2αcos⁡2α⋅cos⁡α+1sin⁡α+1=tg⁡2α⋅cos⁡α+1sin⁡α+1\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha + 1} = \tg^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha + 1}

Analiziramo znak svakog činioca u dobijenom izrazu. Kvadrat bilo kog realnog broja (pa i tangensa) je uvek nenegativan:

tg⁡2α≥0\tg^2 \alpha \ge 0

Vrednosti funkcija sinus i kosinus su uvek u intervalu [−1,1], [-1, 1] , što znači da njihove minimalne vrednosti iznose −1. -1 . Zbog toga važi:

cos⁡α≥−1  ⟹  cos⁡α+1≥0sin⁡α≥−1  ⟹  sin⁡α+1≥0\cos \alpha \ge -1 \implies \cos \alpha + 1 \ge 0 \\ \sin \alpha \ge -1 \implies \sin \alpha + 1 \ge 0

Pošto su svi činioci u izrazu nenegativni (i imenilac je strogo pozitivan tamo gde je izraz definisan), zaključujemo da ceo izraz ne može biti negativan, čime je dokaz završen.

tg⁡2α⋅cos⁡α+1sin⁡α+1≥0\tg^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha + 1}{\sin \alpha + 1} \ge 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti