2017.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ako je tg α+ctg α=3, \text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha = 3 , odrediti: tg α−ctg α \text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo kvadrirati dati izraz tg α+ctg α=3 \text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha = 3 kako bismo dobili vezu između kvadrata ovih funkcija.

(tg α+ctg α)2=32(\text{tg} \, \alpha + \text{ctg} \, \alpha)^2 = 3^2

Primenom formule za kvadrat binoma dobijamo sledeći izraz:

tg2α+2tg α ctg α+ctg2α=9\text{tg}^2 \alpha + 2 \text{tg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 9

Znamo da je osnovni trigonometrijski identitet tg α⋅ctg α=1. \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \alpha = 1 . Zamenom te vrednosti dobijamo:

tg2α+2⋅1+ctg2α=9  ⟹  tg2α+ctg2α=7\text{tg}^2 \alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2 \alpha = 9 \implies \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 7

Sada posmatramo kvadrat izraza koji treba da odredimo, (tg α−ctg α)2: (\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 :

(tg α−ctg α)2=tg2α−2tg α ctg α+ctg2α(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 = \text{tg}^2 \alpha - 2 \text{tg} \, \alpha \, \text{ctg} \, \alpha + \text{ctg}^2 \alpha

Zamenom već izračunatih vrednosti tg2α+ctg2α=7 \text{tg}^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha = 7 i tg α⋅ctg α=1 \text{tg} \, \alpha \cdot \text{ctg} \, \alpha = 1 u ovaj izraz, računamo:

(tg α−ctg α)2=7−2⋅1=5(\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha)^2 = 7 - 2 \cdot 1 = 5

Konačno, korenujemo dobijeni rezultat. Kako predznak nije određen intervalom ugla, rešenje može biti i pozitivno i negativno.

tg α−ctg α=±5\text{tg} \, \alpha - \text{ctg} \, \alpha = \pm \sqrt{5}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti