2012.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija, ako je: cos⁡α=513 \cos \alpha = \frac{5}{13} i 0<α<π2 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} ;

REŠENJE ZADATKA

S obzirom da se ugao α \alpha nalazi u prvom kvadrantu (0<α<π2 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} ), vrednosti svih trigonometrijskih funkcija biće pozitivne.

sin⁡α>0,tan⁡α>0,cot⁡α>0\sin \alpha > 0, \quad \tan \alpha > 0, \quad \cot \alpha > 0

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet kako bismo odredili vrednost sinusa.

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Zamenjujemo poznatu vrednost za kosinus u jednačinu.

sin⁡2α+(513)2=1\sin^2 \alpha + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1

Kvadriramo razlomak.

sin⁡2α+25169=1\sin^2 \alpha + \frac{25}{169} = 1

Izražavamo sin⁡2α \sin^2 \alpha i računamo razliku.

sin⁡2α=1−25169=169−25169=144169\sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}

Pošto je sinus pozitivan u prvom kvadrantu, uzimamo pozitivnu vrednost korena.

sin⁡α=144169=1213\sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}

Sada računamo tangens koristeći formulu tan⁡α=sin⁡αcos⁡α. \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

tan⁡α=1213513\tan \alpha = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}

Skraćivanjem imenilaca dobijamo vrednost tangensa.

tan⁡α=125\tan \alpha = \frac{12}{5}

Kotangens možemo izračunati kao recipročnu vrednost tangensa, cot⁡α=1tan⁡α. \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} .

cot⁡α=512\cot \alpha = \frac{5}{12}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti