2011.

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Odrediti vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija, ako je: sin⁡α=−32 \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} i 3π2<α<2π. \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi .

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu datog uslova za ugao α, \alpha , zaključujemo da se on nalazi u četvrtom kvadrantu. U četvrtom kvadrantu kosinus je pozitivan, dok su tangens i kotangens negativni.

cos⁡α>0,tan⁡α<0,cot⁡α<0\cos \alpha > 0, \quad \tan \alpha < 0, \quad \cot \alpha < 0

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet da bismo odredili vrednost kosinusa.

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Zamenjujemo poznatu vrednost za sinus u jednačinu.

(−32)2+cos⁡2α=1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1

Kvadriramo vrednost i izražavamo cos⁡2α. \cos^2 \alpha .

34+cos⁡2α=1  ⟹  cos⁡2α=1−34=14\frac{3}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

Rešavamo jednačinu po cos⁡α. \cos \alpha . Pošto je ugao u četvrtom kvadrantu gde je kosinus pozitivan, uzimamo samo pozitivno rešenje.

cos⁡α=14=12\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

Računamo vrednost tangensa koristeći formulu tan⁡α=sin⁡αcos⁡α. \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

tan⁡α=−3212\tan \alpha = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}

Sređujemo dvojni razlomak skraćivanjem imenilaca.

tan⁡α=−3\tan \alpha = -\sqrt{3}

Računamo vrednost kotangensa koristeći formulu cot⁡α=1tan⁡α. \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} .

cot⁡α=1−3\cot \alpha = \frac{1}{-\sqrt{3}}

Racionališemo imenilac množenjem brojioca i imenioca sa 3. \sqrt{3} .

cot⁡α=−33\cot \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti