3032.

15

TEKST ZADATKA

Ako su dati iskazi: p:(35+12):0,2−(4−78)⋅23=716 p: \left(\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\right) : 0,2 - \left(4 - \frac{7}{8}\right) \cdot \frac{2}{3} = 7 \frac{1}{6} ; q: q : za sve x x važi (2x−5)2=4x2−25 (2x - 5)^2 = 4x^2 - 25 ; r: r : bilo koje tri duži mogu biti stranice trougla, ispitati tačnost iskaza ¬(p∨q)⇒((r∧¬p)∨(q⇔r)). \neg(p \lor q) \Rightarrow ((r \land \neg p) \lor (q \Leftrightarrow r)) .

REŠENJE ZADATKA

Ispitujemo tačnost iskaza p. p . Računamo vrednost izraza na levoj strani jednakosti.

(35+12):0,2−(4−78)⋅23=(6+510):15−(32−78)⋅23=1110⋅5−258⋅23=112−2512=66−2512=4112\left(\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\right) : 0,2 - \left(4 - \frac{7}{8}\right) \cdot \frac{2}{3} = \left(\frac{6+5}{10}\right) : \frac{1}{5} - \left(\frac{32-7}{8}\right) \cdot \frac{2}{3} = \frac{11}{10} \cdot 5 - \frac{25}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{11}{2} - \frac{25}{12} = \frac{66-25}{12} = \frac{41}{12}

Desna strana jednakosti je 716=436=8612. 7 \frac{1}{6} = \frac{43}{6} = \frac{86}{12} . Kako leva i desna strana nisu jednake (4112≠8612 \frac{41}{12} \neq \frac{86}{12} ), iskaz p p je netačan.

p=⊥p = \bot

Ispitujemo tačnost iskaza q. q . Kvadrat binoma na levoj strani je (2x−5)2=4x2−20x+25, (2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25 , što očigledno nije jednako 4x2−25 4x^2 - 25 za svako x. x . Dakle, iskaz q q je netačan.

q=⊥q = \bot

Ispitujemo tačnost iskaza r. r . Da bi tri duži mogle biti stranice trougla, zbir dužina bilo koje dve mora biti veći od dužine treće (nejednakost trougla). Zato iskaz r r nije tačan.

r=⊥r = \bot

Zamenjujemo dobijene istinitosne vrednosti u traženi logički iskaz.

¬(⊥∨⊥)⇒((⊥∧¬⊥)∨(⊥⇔⊥))\neg(\bot \lor \bot) \Rightarrow ((\bot \land \neg \bot) \lor (\bot \Leftrightarrow \bot))

Primenjujemo osnovna pravila logičkih operacija: ⊥∨⊥=⊥, \bot \lor \bot = \bot , ¬⊥=⊤ \neg \bot = \top i ⊥⇔⊥=⊤. \bot \Leftrightarrow \bot = \top .

¬(⊥)⇒((⊥∧⊤)∨⊤)\neg(\bot) \Rightarrow ((\bot \land \top) \lor \top)

Nastavljamo sa rešavanjem izraza. Znamo da je ¬⊥=⊤ \neg \bot = \top i ⊥∧⊤=⊥. \bot \land \top = \bot .

⊤⇒(⊥∨⊤)\top \Rightarrow (\bot \lor \top)

Kako je ⊥∨⊤=⊤, \bot \lor \top = \top , dobijamo konačnu implikaciju koja je tačna.

⊤⇒⊤=⊤\top \Rightarrow \top = \top