TEKST ZADATKA
Ako su dati iskazi:
p : 1 − 9 25 = 2 5 p: \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{2}{5} p : 1 − 25 9 = 5 2 ;
q : ( 3 , 5 − 3 2 5 : 2 4 15 ) ⋅ 6 − 2 , 8 = 2 , 8 q: \left(3,5 - 3 \frac{2}{5} : 2 \frac{4}{15}\right) \cdot 6 - 2,8 = 2,8 q : ( 3 , 5 − 3 5 2 : 2 15 4 ) ⋅ 6 − 2 , 8 = 2 , 8 ;
r : r : r : dijagonale pravougaonika su međusobno jednake,
ispitati tačnost iskaza ( ( p ⇒ ¬ q ) ⇔ ( r ∧ ¬ p ) ) ∨ ¬ ( p ∨ r ) . ((p \Rightarrow \neg q) \Leftrightarrow (r \land \neg p)) \lor \neg(p \lor r) . (( p ⇒ ¬ q ) ⇔ ( r ∧ ¬ p )) ∨ ¬ ( p ∨ r ) .
REŠENJE ZADATKA
Proveravamo tačnost iskaza p . p . p . Računamo vrednost izraza sa leve strane jednakosti.
1 − 9 25 = 25 − 9 25 = 16 25 = 4 5 \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} 1 − 25 9 = 25 25 − 9 = 25 16 = 5 4 Pošto je 4 5 ≠ 2 5 , \frac{4}{5} \neq \frac{2}{5} , 5 4 = 5 2 , zaključujemo da je iskaz p p p netačan.
Proveravamo tačnost iskaza q q q računanjem vrednosti izraza sa leve strane jednakosti. Prvo pretvaramo mešovite brojeve i decimale u razlomke.
( 3 , 5 − 3 2 5 : 2 4 15 ) ⋅ 6 − 2 , 8 = ( 7 2 − 17 5 : 34 15 ) ⋅ 6 − 2 , 8 \begin{aligned} &\left(3,5 - 3 \frac{2}{5} : 2 \frac{4}{15}\right) \cdot 6 - 2,8 \\ &= \left(\frac{7}{2} - \frac{17}{5} : \frac{34}{15}\right) \cdot 6 - 2,8 \end{aligned} ( 3 , 5 − 3 5 2 : 2 15 4 ) ⋅ 6 − 2 , 8 = ( 2 7 − 5 17 : 15 34 ) ⋅ 6 − 2 , 8 Izvršavamo operaciju deljenja unutar zagrade množenjem sa recipročnom vrednošću.
( 7 2 − 17 5 ⋅ 15 34 ) ⋅ 6 − 2 , 8 = ( 7 2 − 1 ⋅ 3 1 ⋅ 2 ) ⋅ 6 − 2 , 8 = ( 7 2 − 3 2 ) ⋅ 6 − 2 , 8 \begin{aligned} &\left(\frac{7}{2} - \frac{17}{5} \cdot \frac{15}{34}\right) \cdot 6 - 2,8 \\ &= \left(\frac{7}{2} - \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}\right) \cdot 6 - 2,8 \\ &= \left(\frac{7}{2} - \frac{3}{2}\right) \cdot 6 - 2,8 \end{aligned} ( 2 7 − 5 17 ⋅ 34 15 ) ⋅ 6 − 2 , 8 = ( 2 7 − 1 ⋅ 2 1 ⋅ 3 ) ⋅ 6 − 2 , 8 = ( 2 7 − 2 3 ) ⋅ 6 − 2 , 8 Završavamo računanje vrednosti izraza.
= 4 2 ⋅ 6 − 2 , 8 = 2 ⋅ 6 − 2 , 8 = 12 − 2 , 8 = 9 , 2 \begin{aligned} &= \frac{4}{2} \cdot 6 - 2,8 \\ &= 2 \cdot 6 - 2,8 \\ &= 12 - 2,8 = 9,2 \end{aligned} = 2 4 ⋅ 6 − 2 , 8 = 2 ⋅ 6 − 2 , 8 = 12 − 2 , 8 = 9 , 2 Pošto je 9 , 2 ≠ 2 , 8 , 9,2 \neq 2,8 , 9 , 2 = 2 , 8 , zaključujemo da je iskaz q q q netačan.
Proveravamo tačnost iskaza r . r . r . Poznato je iz geometrije da su dijagonale pravougaonika međusobno jednake, pa je iskaz tačan.
Zamenjujemo dobijene istinitosne vrednosti u zadati logički izraz.
( ( ⊥ ⇒ ¬ ⊥ ) ⇔ ( ⊤ ∧ ¬ ⊥ ) ) ∨ ¬ ( ⊥ ∨ ⊤ ) ((\bot \Rightarrow \neg \bot) \Leftrightarrow (\top \land \neg \bot)) \lor \neg(\bot \lor \top) (( ⊥ ⇒ ¬⊥ ) ⇔ ( ⊤ ∧ ¬⊥ )) ∨ ¬ ( ⊥ ∨ ⊤ ) Određujemo vrednosti negacija unutar zagrada ( ¬ ⊥ = ⊤ \neg \bot = \top ¬⊥ = ⊤ ).
( ( ⊥ ⇒ ⊤ ) ⇔ ( ⊤ ∧ ⊤ ) ) ∨ ¬ ( ⊥ ∨ ⊤ ) ((\bot \Rightarrow \top) \Leftrightarrow (\top \land \top)) \lor \neg(\bot \lor \top) (( ⊥ ⇒ ⊤ ) ⇔ ( ⊤ ∧ ⊤ )) ∨ ¬ ( ⊥ ∨ ⊤ ) Rešavamo logičke operacije unutar unutrašnjih zagrada. Implikacija ⊥ ⇒ ⊤ \bot \Rightarrow \top ⊥ ⇒ ⊤ je tačna, konjunkcija ⊤ ∧ ⊤ \top \land \top ⊤ ∧ ⊤ je tačna, a disjunkcija ⊥ ∨ ⊤ \bot \lor \top ⊥ ∨ ⊤ je tačna.
( ⊤ ⇔ ⊤ ) ∨ ¬ ⊤ (\top \Leftrightarrow \top) \lor \neg \top ( ⊤ ⇔ ⊤ ) ∨ ¬⊤ Ekvivalencija ⊤ ⇔ ⊤ \top \Leftrightarrow \top ⊤ ⇔ ⊤ je tačna, a negacija ¬ ⊤ \neg \top ¬⊤ je netačna.
Konačno, disjunkcija tačnog i netačnog iskaza je tačna. Vrednost celog izraza je tačna.