4073.

620.i

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi:

x3−5x2−x+5x3−x\frac{x^3-5x^2-x+5}{x^3-x}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti brojilac na činioce metodom grupisanja članova. Grupišemo prvi sa drugim i treći sa četvrtim članom.

x3−5x2−x+5=x2(x−5)−1(x−5)x^3 - 5x^2 - x + 5 = x^2(x - 5) - 1(x - 5)

Sada izvlačimo zajednički faktor (x−5) (x-5) i koristimo razliku kvadrata za preostali deo.

(x−5)(x2−1)=(x−5)(x−1)(x+1)(x - 5)(x^2 - 1) = (x - 5)(x - 1)(x + 1)

Zatim rastavljamo imenilac na činioce izvlačenjem zajedničkog faktora x, x , a potom primenjujemo razliku kvadrata.

x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)

Pre skraćivanja, moramo odrediti uslove pod kojima je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti nula.

x(x−1)(x+1)≠0  ⟹  x≠0,x≠1,x≠−1x(x - 1)(x + 1) \neq 0 \implies x \neq 0, \quad x \neq 1, \quad x \neq -1

Sada zapisujemo razlomak u rastavljenom obliku i skraćujemo zajedničke činioce.

(x−5)(x−1)(x+1)x(x−1)(x+1)=x−5x\frac{(x - 5)(x - 1)(x + 1)}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 5}{x}

Konačan rezultat sa navedenim uslovima je:

x−5x,x∈R∖{−1,0,1}\frac{x - 5}{x}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}