4072.

620.ž

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi:

x3−xy2x4−xy3\frac{x^3-xy^2}{x^4-xy^3}
REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo brojilac na činioce. Izvlačimo zajednički faktor x, x , a zatim koristimo formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .

x3−xy2=x(x2−y2)=x(x−y)(x+y)x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)

Zatim rastavljamo imenilac na činioce. Izvlačimo zajednički faktor x, x , a zatim koristimo formulu za razliku kubova a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2). a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) .

x4−xy3=x(x3−y3)=x(x−y)(x2+xy+y2)x^4 - xy^3 = x(x^3 - y^3) = x(x - y)(x^2 + xy + y^2)

Pre skraćivanja, moramo definisati uslove pod kojima je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti nula.

x≠0ix3−y3≠0  ⟹  x≠yx \neq 0 \quad \text{i} \quad x^3 - y^3 \neq 0 \implies x \neq y

Sada zapisujemo razlomak u rastavljenom obliku i skraćujemo zajedničke činioce x x i (x−y). (x-y) .

x(x−y)(x+y)x(x−y)(x2+xy+y2)=x+yx2+xy+y2\frac{x(x - y)(x + y)}{x(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2}

Konačan rezultat sa navedenim uslovima je:

x+yx2+xy+y2,x≠0,x≠y\frac{x + y}{x^2 + xy + y^2}, \quad x \neq 0, x \neq y