4074.

620.b

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi:

x3−8x3−2x2+2x−4\frac{x^3-8}{x^3-2x^2+2x-4}
REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo faktorizaciju brojioca x3−8. x^3-8 . Koristimo formulu za razliku kubova a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2), a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) , gde je a=x a=x i b=2. b=2 .

x3−23=(x−2)(x2+2x+4)x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)

Zatim vršimo faktorizaciju imenioca x3−2x2+2x−4 x^3-2x^2+2x-4 metodom grupisanja članova.

x3−2x2+2x−4=x2(x−2)+2(x−2)=(x−2)(x2+2)x^3-2x^2+2x-4 = x^2(x-2) + 2(x-2) = (x-2)(x^2+2)

Pre skraćivanja, određujemo uslov pod kojim je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

(x−2)(x2+2)≠0(x-2)(x^2+2) \neq 0

Pošto je x2+2 x^2+2 uvek pozitivno za svako realno x, x , uslov se svodi na:

x−2≠0  ⟹  x≠2x-2 \neq 0 \implies x \neq 2

Sada zapisujemo razlomak u faktorisanom obliku i skraćujemo zajednički faktor (x−2). (x-2) .

(x−2)(x2+2x+4)(x−2)(x2+2)=x2+2x+4x2+2\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2)} = \frac{x^2+2x+4}{x^2+2}

Konačan rezultat sa navedenim uslovom je:

x2+2x+4x2+2,x≠2\frac{x^2+2x+4}{x^2+2}, \quad x \neq 2