1727.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem nejednačina: 1<3x2−7x+8x2+1<2. 1 < \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} < 2 .

REŠENJE ZADATKA

Dati dvostruki sistem nejednačina možemo razbiti na dva dela koja moraju istovremeno biti ispunjena:

{3x2−7x+8x2+1>13x2−7x+8x2+1<2\begin{cases} \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} > 1 \\ \frac{3x^2 - 7x + 8}{x^2 + 1} < 2 \end{cases}

Primetimo da je imenilac x2+1 x^2 + 1 uvek pozitivan za svako realno x, x , jer je x2≥0, x^2 \ge 0 , pa je x2+1≥1. x^2 + 1 \ge 1 . Zbog toga možemo pomnožiti obe nejednačine sa x2+1 x^2 + 1 bez promene znaka nejednakosti.

Rešavamo prvu nejednačinu:

3x2−7x+8>x2+12x2−7x+7>03x^2 - 7x + 8 > x^2 + 1 \\ 2x^2 - 7x + 7 > 0

Ispitujemo diskriminantu kvadratne funkcije 2x2−7x+7: 2x^2 - 7x + 7 :

D=(−7)2−4⋅2⋅7=49−56=−7D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 49 - 56 = -7

Pošto je diskriminanta D<0 D < 0 i koeficijent uz x2 x^2 pozitivan (a=2>0 a = 2 > 0 ), kvadratna funkcija je uvek pozitivna. Dakle, prva nejednačina je ispunjena za svako realno x: x :

x∈Rx \in \mathbb{R}

Rešavamo drugu nejednačinu:

3x2−7x+8<2(x2+1)3x2−7x+8<2x2+2x2−7x+6<03x^2 - 7x + 8 < 2(x^2 + 1) \\ 3x^2 - 7x + 8 < 2x^2 + 2 \\ x^2 - 7x + 6 < 0

Nalazimo nule kvadratne funkcije x2−7x+6=0: x^2 - 7x + 6 = 0 :

x1,2=7±49−242=7±52x1=1,x2=6x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} \\ x_1 = 1, \quad x_2 = 6
x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,6)x \in (1, 6)
x∈(6,+∞)x \in (6, +\infty)
x2−7x+6x^2 - 7x + 6
++
−-
++

Iz tabele vidimo da je druga nejednačina ispunjena za:

x∈(1,6)x \in (1, 6)

Konačno rešenje sistema je presek rešenja prve i druge nejednačine:

x∈R∩(1,6)  ⟹  x∈(1,6)x \in \mathbb{R} \cap (1, 6) \implies x \in (1, 6)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti