Podeli

1707.
Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Dati sistem nejednačina možemo razdvojiti na dve zasebne nejednačine koje moraju biti istovremeno zadovoljene:

\begin{cases} 3x - 2 < x^2 \\ x^2 \leqslant 4x \end{cases}

Prvo rešavamo prvu nejednačinu prebacivanjem svih članova na jednu stranu:

x^2 - 3x + 2 > 0

Određujemo nule kvadratne funkcije $x^2 - 3x + 2 = 0$ koristeći kvadratnu formulu:

x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = 2

Kako je koeficijent uz $x^2$ pozitivan, parabola je okrenuta otvorom nagore, pa je funkcija pozitivna van intervala nula:

x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)

Sada rešavamo drugu nejednačinu:

x^2 - 4x \leqslant 0

Faktorišemo izraz na levoj strani:

x(x - 4) \leqslant 0

x \in (-\infty, 0)

x \in (0, 4)

x \in (4, +\infty)

x

-

+

+

x-4

-

-

+

x(x-4)

+

-

+

Iz tabele ili analize parabole vidimo da je rešenje druge nejednačine (uključujući nule):

x \in [0, 4]

Konačno rešenje je presek rešenja prve i druge nejednačine:

x \in ((-\infty, 1) \cup (2, +\infty)) \cap [0, 4]

Određivanjem preseka intervala dobijamo:

x \in [0, 1) \cup (2, 4]

1707.Kvadratne nejednačine