1706.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem nejednačina: −1⩽2xx2+1⩽1. -1 \leqslant \frac{2x}{x^2 + 1} \leqslant 1 .

REŠENJE ZADATKA

Dati dvostruki sistem nejednačina možemo razdvojiti na dva dela koja moraju važiti istovremeno:

{2xx2+1⩾−12xx2+1⩽1\begin{cases} \frac{2x}{x^2 + 1} \geqslant -1 \\ \frac{2x}{x^2 + 1} \leqslant 1 \end{cases}

Primetimo da je imenilac x2+1 x^2 + 1 uvek pozitivan za svako realno x, x , jer je x2⩾0, x^2 \geqslant 0 , pa je x2+1⩾1. x^2 + 1 \geqslant 1 . Zbog toga možemo pomnožiti obe nejednačine sa x2+1 x^2 + 1 bez promene znaka nejednakosti.

x2+1>0,∀x∈Rx^2 + 1 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Rešavamo prvu nejednačinu:

2x⩾−(x2+1)  ⟹  2x⩾−x2−1  ⟹  x2+2x+1⩾02x \geqslant -(x^2 + 1) \implies 2x \geqslant -x^2 - 1 \implies x^2 + 2x + 1 \geqslant 0

Izraz x2+2x+1 x^2 + 2x + 1 prepoznajemo kao kvadrat binoma:

(x+1)2⩾0(x + 1)^2 \geqslant 0

Kvadrat bilo kog realnog broja je uvek veći ili jednak nuli, pa je ova nejednačina tačna za svako realno x: x :

x∈Rx \in \mathbb{R}

Rešavamo drugu nejednačinu:

2x⩽x2+1  ⟹  0⩽x2−2x+1  ⟹  x2−2x+1⩾02x \leqslant x^2 + 1 \implies 0 \leqslant x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 2x + 1 \geqslant 0

Izraz x2−2x+1 x^2 - 2x + 1 je takođe kvadrat binoma:

(x−1)2⩾0(x - 1)^2 \geqslant 0

Kao i u prethodnom slučaju, kvadrat je uvek nenegativan, pa je rešenje druge nejednačine takođe skup svih realnih brojeva:

x∈Rx \in \mathbb{R}

Konačno rešenje sistema je presek rešenja obe nejednačine:

x∈R∩R  ⟹  x∈Rx \in \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \implies x \in \mathbb{R}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti