Vijetove formule: uslov za zbir kvadrata rešenja

Prvo identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0 .$

A = 2, \quad B = 2a, \quad C = 5a - 6

Koristimo Vietove formule za zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine.

x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{2a}{2} = -a \\ x_1 x_2 = \frac{C}{A} = \frac{5a - 6}{2}

Izraz $x_1^2 + x_2^2$ transformišemo koristeći identitet za kvadrat zbira.

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo vrednosti iz Vietovih formula u transformisani izraz.

x_1^2 + x_2^2 = (-a)^2 - 2 \cdot \left( \frac{5a - 6}{2} \right) = a^2 - (5a - 6) = a^2 - 5a + 6

Postavljamo uslov zadatka $x_1^2 + x_2^2 < 0 .$

a^2 - 5a + 6 < 0

Računamo nule kvadratnog trinoma $a^2 - 5a + 6 = 0$ kako bismo odredili znak.

a_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \implies a_1 = 2, \, a_2 = 3

a \in (-\infty, 2)

a \in (2, 3)

a \in (3, +\infty)

a-2

-

+

+

a-3

-

-

+

a^2-5a+6

+

-

+

Na osnovu tabele znaka, zaključujemo da je izraz negativan u intervalu između nula.

a \in (2, 3)

301