PrethodniSledeći
1708.

301

TEKST ZADATKA

Ako su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja jednačine 2x2+2ax+5a−6=0 2x^2 + 2ax + 5a - 6 = 0 odrediti realan parametar a a tako da je x12+x22<0. x_1^2 + x_2^2 < 0 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine ax2+bx+c=0. ax^2 + bx + c = 0 .

A=2,B=2a,C=5a−6A = 2, \quad B = 2a, \quad C = 5a - 6

Koristimo Vietove formule za zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine.

x1+x2=−BA=−2a2=−ax1x2=CA=5a−62x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{2a}{2} = -a \\ x_1 x_2 = \frac{C}{A} = \frac{5a - 6}{2}

Izraz x12+x22 x_1^2 + x_2^2 transformišemo koristeći identitet za kvadrat zbira.

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo vrednosti iz Vietovih formula u transformisani izraz.

x12+x22=(−a)2−2⋅(5a−62)=a2−(5a−6)=a2−5a+6x_1^2 + x_2^2 = (-a)^2 - 2 \cdot \left( \frac{5a - 6}{2} \right) = a^2 - (5a - 6) = a^2 - 5a + 6

Postavljamo uslov zadatka x12+x22<0. x_1^2 + x_2^2 < 0 .

a2−5a+6<0a^2 - 5a + 6 < 0

Računamo nule kvadratnog trinoma a2−5a+6=0 a^2 - 5a + 6 = 0 kako bismo odredili znak.

a1,2=5±25−242=5±12  ⟹  a1=2, a2=3a_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \implies a_1 = 2, \, a_2 = 3
a∈(−∞,2)a \in (-\infty, 2)
a∈(2,3)a \in (2, 3)
a∈(3,+∞)a \in (3, +\infty)
a−2a-2
− -
+ +
+ +
a−3a-3
− -
− -
+ +
a2−5a+6a^2-5a+6
+ +
− -
+ +

Na osnovu tabele znaka, zaključujemo da je izraz negativan u intervalu između nula.

a∈(2,3)a \in (2, 3)

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu