645.

(x2+x+1)(x2+x+2)−12=0 (x^2+x+1)(x^2+x+2)-12=0

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

(x2+x+1)(x2+x+2)−12=0 (x^2+x+1)(x^2+x+2)-12=0
REŠENJE ZADATKA

Jednačina se može zapisati kao:

(x2+x+1)(x2+x+1+1)−12=0 (x^2+x+1)(x^2+x+1+1)-12=0

Uvesti smenu x2+x+1=t.x^2+x+1=t.

t(t+1)−12=0t(t+1)-12=0

Osloboditi se zagrade množenjem:

t2+t−12=0t^2+t-12=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=1,a=1, b=1b=1 i c=−12c=-12

t1,2=−1±12−4⋅1⋅(−12)2⋅1  ⟹  t1=3,t2=−4t_{1,2}=\frac {-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-12)}} {2\cdot1} \implies t_1=3, \quad t_2=-4

Vratiti smenu x2+x+1=tx^2+x+1=t i uvrstiti dobijena rešenja.

x2+x+1=3∨x2+x+1=−4x^2+x+1=3 \quad\lor\quad x^2+x+1=-4

Rešavanjem jednačina dobija se:

x=1∨x=−2∨x=−1+i192∨x=−1−i192x=1 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=\frac {-1+ i\sqrt{19}} 2 \quad\lor\quad x=\frac {-1- i\sqrt{19}} 2
DODATNO OBJAŠNJENJE