TEKST ZADATKA
Rešiti jednačinu:
1 + 2 x x + 4 + 27 2 x 2 + 7 x − 4 = 6 2 x − 1 1+\frac{2x}{x+4}+\frac{27}{2x^2+7x-4}=\frac{6}{2x-1} 1 + x + 4 2 x + 2 x 2 + 7 x − 4 27 = 2 x − 1 6 REŠENJE ZADATKA
Pronaći nule imenioca primenom formule za rešavanje kvadratne jednačine: x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a , x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c , gde su: a = 2 , a=2, a = 2 , b = 7 b=7 b = 7 i c = − 4 c=-4 c = − 4
x 1 , 2 = − 7 ± 49 + 32 4 x 1 , 2 = − 7 ± 9 2 x 1 = 1 2 ∨ x 2 = − 4 x_{1,2}=\frac {-7\pm\sqrt{49+32} } {4} \\
x_{1,2}=\frac {-7\pm9 } {2} \\
x_1=\frac{1}{2}\quad \lor \quad x_2=-4 x 1 , 2 = 4 − 7 ± 49 + 32 x 1 , 2 = 2 − 7 ± 9 x 1 = 2 1 ∨ x 2 = − 4 Vratiti se na rešavanje jednačine:
1 + 2 x x + 4 + 27 2 ( x − 1 2 ) ( x + 4 ) = 6 2 x − 1 1+\frac{2x}{x+4}+\frac{27}{2(x-\frac{1}{2})(x+4)}=\frac{6}{2x-1} 1 + x + 4 2 x + 2 ( x − 2 1 ) ( x + 4 ) 27 = 2 x − 1 6 1 + 2 x x + 4 + 27 ( 2 x − 1 ) ( x + 4 ) = 6 2 x − 1 1+\frac{2x}{x+4}+\frac{27}{(2x-1)(x+4)}=\frac{6}{2x-1} 1 + x + 4 2 x + ( 2 x − 1 ) ( x + 4 ) 27 = 2 x − 1 6 Dovesti razlomke na zajednički imenilac ( 2 x − 1 ) ( x + 4 ) : (2x-1)(x+4) : ( 2 x − 1 ) ( x + 4 ) :
2 x 2 + 7 x − 4 + 2 x ( 2 x − 1 ) + 27 ( 2 x − 1 ) ( x + 4 ) = 6 ( x + 4 ) ( 2 x − 1 ) ( x + 4 ) \frac{2x^2+7x-4+2x(2x-1)+27}{(2x-1)(x+4)}=\frac{6(x+4)}{(2x-1)(x+4)} ( 2 x − 1 ) ( x + 4 ) 2 x 2 + 7 x − 4 + 2 x ( 2 x − 1 ) + 27 = ( 2 x − 1 ) ( x + 4 ) 6 ( x + 4 ) Da bi dva razlomka bila jednaka potrebno je da im i brojioci i imenioci budu jednaki. Kako su ovde imenioci već jednaki potrebno je samo napisati uslov:
2 x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 2 , x + 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ − 4 2x-1\not=0 \rArr x\not=\frac{1}{2}, \quad x+4\not=0 \rArr x\not=-4 2 x − 1 = 0 ⇒ x = 2 1 , x + 4 = 0 ⇒ x = − 4 Srediti izraz:
2 x 2 + 7 x − 4 + 4 x 2 − 2 x + 27 = 6 x + 24 2x^2+7x-4+4x^2-2x+27=6x+24 2 x 2 + 7 x − 4 + 4 x 2 − 2 x + 27 = 6 x + 24 Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a , x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c , gde su: a = 6 , a=6, a = 6 , b = − 1 b=-1 b = − 1 i c = − 1 c=-1 c = − 1
6 x 2 − x − 1 = 0 x 1 , 2 = 1 ± 1 + 24 12 x 1 , 2 = 1 ± 25 12 x 1 , 2 = 1 ± 5 12 x 1 = 1 2 ∨ x 2 = − 1 3 6x^2-x -1 = 0 \\
x_{1,2}=\frac {1\pm\sqrt{1+24} } {12} \\
x_{1,2}=\frac {1\pm\sqrt{25} } {12} \\
x_{1,2}=\frac{1\pm5}{12} \\
x_1= \frac{1}{2}\quad \lor \quad x_2=-\frac{1}{3} 6 x 2 − x − 1 = 0 x 1 , 2 = 12 1 ± 1 + 24 x 1 , 2 = 12 1 ± 25 x 1 , 2 = 12 1 ± 5 x 1 = 2 1 ∨ x 2 = − 3 1 Rešenje x 1 = 1 2 x_1=\frac{1}{2} x 1 = 2 1 odbaciti zbog uslova zadatka pa je konačno rešenje x = − 1 3 x=-\frac{1}{3} x = − 3 1