1658.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Skicirati grafike funkcija (zadaci 268-269): y=∣x2+x∣ y = |x^2 + x| ;

REŠENJE ZADATKA

Definišemo funkciju sa apsolutnom vrednošću:

∣x2+x∣={x2+x,za x2+x≥0−(x2+x),za x2+x<0|x^2 + x| = \begin{cases} x^2 + x, & \text{za } x^2 + x \ge 0 \\ -(x^2 + x), & \text{za } x^2 + x < 0 \end{cases}

Posmatrajmo prvo kvadratnu funkciju bez apsolutne vrednosti:

f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x

Određujemo nule funkcije izjednačavanjem sa nulom:

x2+x=0  ⟹  x(x+1)=0x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0

Rešenja ove jednačine su nule funkcije:

x1=−1,x2=0x_1 = -1, \quad x_2 = 0

Računamo koordinate temena parabole T(xT,yT). T(x_T, y_T) . Za funkciju oblika ax2+bx+c ax^2 + bx + c x-koordinata temena je xT=−b2a: x_T = -\frac{b}{2a} :

xT=−12⋅1=−12x_T = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}

Zamenom xT x_T u funkciju računamo y-koordinatu temena:

yT=(−12)2+(−12)=14−12=−14y_T = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}

Teme parabole f(x)=x2+x f(x) = x^2 + x je u tački:

T(−12,−14)T\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)

Pošto je koeficijent uz x2 x^2 pozitivan (a=1>0 a = 1 > 0 ), parabola je okrenuta otvorom nagore. Određujemo znak funkcije:

x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈(−1,0)x \in (-1, 0)
x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
x2+xx^2 + x
++
−-
++

Na osnovu znaka funkcije, za x∈(−∞,−1]∪[0,+∞) x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty) važi x2+x≥0, x^2 + x \ge 0 , pa se grafik funkcije y=∣x2+x∣ y = |x^2 + x| poklapa sa grafikom funkcije y=x2+x. y = x^2 + x .

y=x2+x,x∈(−∞,−1]∪[0,+∞)y = x^2 + x, \quad x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)

Za x∈(−1,0) x \in (-1, 0) važi x2+x<0, x^2 + x < 0 , pa se deo grafika koji je ispod x-ose preslikava simetrično u odnosu na x-osu. Funkcija na tom intervalu postaje:

y=−x2−x,x∈(−1,0)y = -x^2 - x, \quad x \in (-1, 0)

Teme parabole koje je bilo ispod x-ose u tački T(−12,−14) T\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right) se preslikava u lokalni maksimum nove funkcije:

T′(−12,14)T'\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)

Konačan grafik se dobija tako što se nacrta parabola y=x2+x, y = x^2 + x , a zatim se njen deo između nula x=−1 x = -1 i x=0 x = 0 (koji se nalazi ispod x-ose) preslika osno simetrično iznad x-ose.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti