TEKST ZADATKA
Ispitati funkciju i skicirati grafik: y=−31x2+2x−4;
REŠENJE ZADATKA
Zadata je kvadratna funkcija oblika y=ax2+bx+c. Određujemo njene koeficijente.
a=−31,b=2,c=−4 Domen funkcije. Kvadratna funkcija je definisana za sve realne brojeve.
Presek sa y-osom dobijamo kada zamenimo x=0 u jednačinu funkcije.
y=−31⋅02+2⋅0−4=−4 Nule funkcije (presek sa x-osom) dobijamo rešavanjem kvadratne jednačine y=0. Množimo jednačinu sa −3 radi lakšeg računanja.
−31x2+2x−4=0/⋅(−3)⟹x2−6x+12=0 Računamo diskriminantu kvadratne jednačine po formuli D=b2−4ac.
D=(−6)2−4⋅1⋅12=36−48=−12 Kako je diskriminanta manja od nule (D<0), jednačina nema realna rešenja, što znači da grafik funkcije ne seče x-osu.
D<0⟹funkcija nema nule Određujemo teme parabole T(xT,yT). x-koordinatu računamo po formuli xT=−2ab.
xT=−2⋅(−31)2=−−322=3 y-koordinatu temena računamo zamenom xT u jednačinu funkcije (ili po formuli yT=4a4ac−b2).
yT=−31⋅32+2⋅3−4=−3+6−4=−1 Teme parabole je tačka T(3,−1). Pošto je koeficijent uz x2 negativan (a=−31<0), funkcija u temenu dostiže svoj maksimum.
ymax=−1zax=3 Zapisujemo funkciju u kanonskom obliku y=a(x−xT)2+yT.
y=−31(x−3)2−1 Znak funkcije. Pošto je a<0 i parabola ne seče x-osu (D<0), grafik se nalazi potpuno ispod x-ose.
y<0za svakox∈R Monotonost funkcije. Funkcija raste do temena, a zatim opada.
{y↗,y↘,x∈(−∞,3)x∈(3,+∞) Za preciznije skiciranje grafika, možemo izračunati još jednu tačku simetričnu preseku sa y-osom u odnosu na osu simetrije x=3. To je tačka za x=6.
y(6)=−31⋅62+2⋅6−4=−12+12−4=−4 Zaključak za skiciranje: Grafik je parabola okrenuta otvorom nadole, sa temenom u T(3,−1), koja prolazi kroz tačke (0,−4) i (6,−4), i ne seče x-osu.