1651.

Kvadratna funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati funkciju i skicirati grafik: y=12x2+2x+32. y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Domen funkcije. Kvadratna funkcija je definisana za sve realne brojeve.

Df=Rodnosnox∈(−∞,+∞)D_f = \mathbb{R} \quad \text{odnosno} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Nule funkcije dobijamo rešavanjem jednačine y=0. y = 0 .

12x2+2x+32=0\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2} = 0

Množimo jednačinu sa 2 kako bismo se oslobodili razlomaka.

x2+4x+3=0x^2 + 4x + 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu.

x1,2=−4±42−4⋅1⋅32=−4±16−122=−4±22x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}

Nule funkcije su:

x1=−3,x2=−1x_1 = -3, \quad x_2 = -1

Presek sa y-osom dobijamo kada zamenimo x=0 x = 0 u jednačinu funkcije.

y(0)=12⋅02+2⋅0+32=32y(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Tražimo teme parabole. Pošto je koeficijent uz x2 x^2 pozitivan (a=12>0 a = \frac{1}{2} > 0 ), funkcija ima minimum. x-koordinata temena je:

xT=−b2a=−22⋅12=−2x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -2

Računamo y-koordinatu temena zamenom xT x_T u funkciju:

yT=12(−2)2+2(−2)+32=2−4+32=−12y_T = \frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) + \frac{3}{2} = 2 - 4 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}

Teme parabole (minimum funkcije) je tačka:

T(−2,−12)T\left(-2, -\frac{1}{2}\right)

Određujemo znak funkcije. Zapisujemo funkciju u faktorisanom obliku y=a(x−x1)(x−x2): y = a(x-x_1)(x-x_2) :

y=12(x+3)(x+1)y = \frac{1}{2}(x+3)(x+1)
x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -3)
x∈(−3,−1)x \in (-3, -1)
x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
x+3x+3
++
++
++
x+1x+1
++
++
++
yy
++
++
++

Na osnovu tabele i znaka činilaca, funkcija je pozitivna na intervalima gde je ukupan znak plus, a negativna gde je znak minus.

y>0zax∈(−∞,−3)∪(−1,+∞)y<0zax∈(−3,−1)y > 0 \quad \text{za} \quad x \in (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty) \\ y < 0 \quad \text{za} \quad x \in (-3, -1)

Monotonost funkcije određujemo na osnovu x-koordinate temena i znaka koeficijenta a. a . Pošto je a>0, a > 0 , funkcija opada do temena, a zatim raste.

y↘zax∈(−∞,−2)y↗zax∈(−2,+∞)y \searrow \quad \text{za} \quad x \in (-\infty, -2) \\ y \nearrow \quad \text{za} \quad x \in (-2, +\infty)

Grafik funkcije (parabolu) skiciramo spajanjem dobijenih karakterističnih tačaka: nula (−3,0) (-3, 0) i (−1,0), (-1, 0) , preseka sa y-osom (0,32) \left(0, \frac{3}{2}\right) i temena T(−2,−12). T\left(-2, -\frac{1}{2}\right) .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti