Podeli

397.
Kombinovani nizovi

TEKST ZADATKA

Tri broja obrazuju geometrijski niz čiji je zbir 65. Ako se srednji član uveća za 10, niz postaje aritmetički. Odrediti taj niz.

REŠENJE ZADATKA

Postaviti zadatak:

a_1+a_2+a_3=65

Aritmetički niz:

a_1, a_2+10, a_3

Primeniti pravilo za opšti član geometrijskog niza:

a_1(1+q+q^2)=65

Primeniti pravilo aritmetičkog niza: $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$

a_2+10=\frac{a_1+a_1q^2}{2}

Srediti izraz:

2a_1qq+20=a_1+a_1q^2

a_1(q^2-2q+1)=20\rArr a_1=\frac{20}{q^2-2q+1}

Uvrstiti dobijeni izraz za $a_1$ u početni izraz za zbir

\frac{20}{q^2-2q+1}(1+q+q^2)=65

Sređivanje izraza dobija se kvadratna jednačina $3q^2-10q+3=0$ sa rešenjima $q_1=3$ i $q_2=\frac{1}{3}$

Ako se uzme rešenje $q=3$ onda je $a_1=5, a_2=15, a_3=45$

Ako se uzme rešenje $q=\frac{1}{3}$ onda je $a_1=45, a_2=15, a_3=5$

397.Kombinovani nizovi