389.

Kombinovani nizovi

TEKST ZADATKA

Data su 4 broja od kojih prva tri čine aritmetičku progresiju, a poslednja tri opadajuću geometrijsku progresiju. Odrediti ove brojeve ako se zna da je zbir prva dva 20, a poslednja dva 6.

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za opšti član aritmetičkog niza:

a1,a2=a1+d,a3=a1+2da_1, a_2=a_1+d, a_3=a_1+2d

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

a2,a3=a2q,a4=a2q2a_2,a_3= a_2q, a_4=a_2q^2

Zameniti izraze u zbiru a1+a2=20:a_1+a_2=20:

2a1+d=20⇒a1=20−d22a_1+d=20 \rArr a_1=\frac{20-d}{2}

Za a3a_3postoje dva izraza:

a1+2d=a2q⇒a1+2d=(a1+d)q⇒q=a1+2da1+da_1+2d=a_2q \rArr a_1+2d=(a_1+d)q\rArr q=\frac{a_1+2d}{a_1+d}

Zameniti izraz za a1:a_1:

q=20−d2+2d20−d2+d=20+3d20+dq=\frac{\frac{20-d}{2}+2d}{\frac{20-d}{2}+d}=\frac{20+3d}{20+d}

Primeniti formule za opšti član u drugom navedenom zbiru a3+a4=6:a_3+a_4=6:

a2q+a2q2=6a_2q+a_2q^2=6
(20−d2+d)⋅20+3d20+d+(20−d2+d)⋅(20+3d20+d)2=6(\frac{20-d}{2}+d)\cdot \frac{20+3d}{20+d}+(\frac{20-d}{2}+d) \cdot(\frac{20+3d}{20+d})^2=6

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina 3d2+47d+140=03d^2+47d+140=0sa rešenjima d1=−4d_1=-4i d2=−353d_2=-\frac{35}{3}

Uzima se samo jedno rešenje d=−4d=-4jer je drugo neodređeno.

Vraćanjem vrednosti za d u izraz za q dobija se da jeq=12q=\frac{1}{2}pa su traženi brojevi:

a1=12,a2=8,a3=4,a4=2a_1=12, a_2=8, a_3=4, a_4=2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti