1617.

246.a

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine:

(x−2)(x−3)(x−4)=6(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 6
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pomnožiti zagrade na levoj strani jednačine. Najpre množimo prve dve zagrade.

(x2−5x+6)(x−4)=6(x^2 - 5x + 6)(x - 4) = 6

Sada množimo dobijeni kvadratni trinom sa preostalom zagradom.

x3−4x2−5x2+20x+6x−24=6x^3 - 4x^2 - 5x^2 + 20x + 6x - 24 = 6

Sređujemo izraz po stepenima i prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili jednačinu trećeg stepena.

x3−9x2+26x−30=0x^3 - 9x^2 + 26x - 30 = 0

Tražimo celobrojno rešenje među deliocima slobodnog člana -30. Proverom vidimo da je x=5 x = 5 rešenje jer je 53−9⋅52+26⋅5−30=125−225+130−30=0. 5^3 - 9 \cdot 5^2 + 26 \cdot 5 - 30 = 125 - 225 + 130 - 30 = 0 .

x1=5x_1 = 5

Delimo polinom x3−9x2+26x−30 x^3 - 9x^2 + 26x - 30 sa (x−5) (x - 5) kako bismo dobili preostali kvadratni deo.

(x−5)(x2−4x+6)=0(x - 5)(x^2 - 4x + 6) = 0

Sada rešavamo kvadratnu jednačinu x2−4x+6=0 x^2 - 4x + 6 = 0 koristeći formulu za kvadratnu jednačinu.

x2,3=−(−4)±(−4)2−4⋅1⋅62⋅1x_{2,3} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu).

x2,3=4±16−242=4±−82x_{2,3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{2}

Sređujemo izraz sa imaginarnom jedinicom i, i , gde je −8=2i2. \sqrt{-8} = 2i\sqrt{2} .

x2,3=4±2i22=2±i2x_{2,3} = \frac{4 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = 2 \pm i\sqrt{2}

Konačna rešenja jednačine su jedno realno i dva konjugovano-kompleksna rešenja:

x1=5,x2=2+i2,x3=2−i2x_1 = 5, \quad x_2 = 2 + i\sqrt{2}, \quad x_3 = 2 - i\sqrt{2}