1505.

Jednačine koje se svode na kvadratne

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (simetrične jednačine):

8x4−54x3+101x2−54x+8=08x^4 - 54x^3 + 101x^2 - 54x + 8 = 0
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je ovo simetrična jednačina četvrtog stepena. Pošto x=0 x=0 nije rešenje, celu jednačinu delimo sa x2: x^2 :

8x2−54x+101−54x+8x2=08x^2 - 54x + 101 - \frac{54}{x} + \frac{8}{x^2} = 0

Grupišemo članove sa istim koeficijentima:

8(x2+1x2)−54(x+1x)+101=08\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 54\left(x + \frac{1}{x}\right) + 101 = 0

Uvodimo smenu t=x+1x. t = x + \frac{1}{x} . Tada je t2=x2+2+1x2, t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} , odnosno x2+1x2=t2−2. x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 . Zamenom u jednačinu dobijamo:

8(t2−2)−54t+101=08(t^2 - 2) - 54t + 101 = 0

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu po t: t :

8t2−54t+85=08t^2 - 54t + 85 = 0

Računamo rešenja kvadratne jednačine po t t koristeći obrazac:

t1,2=54±542−4⋅8⋅852⋅8=54±2916−272016=54±1416t_{1,2} = \frac{54 \pm \sqrt{54^2 - 4 \cdot 8 \cdot 85}}{2 \cdot 8} = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 2720}}{16} = \frac{54 \pm 14}{16}

Dobijamo dve vrednosti za t: t :

t1=6816=174,t2=4016=52t_1 = \frac{68}{16} = \frac{17}{4}, \quad t_2 = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}

Vraćamo smenu za prvu vrednost t1=174: t_1 = \frac{17}{4} :

x+1x=174  ⟹  4x2−17x+4=0x + \frac{1}{x} = \frac{17}{4} \implies 4x^2 - 17x + 4 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu za x1 x_1 i x2: x_2 :

x1,2=17±289−648=17±158  ⟹  x1=4, x2=14x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8} \implies x_1 = 4, \, x_2 = \frac{1}{4}

Vraćamo smenu za drugu vrednost t2=52: t_2 = \frac{5}{2} :

x+1x=52  ⟹  2x2−5x+2=0x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu za x3 x_3 i x4: x_4 :

x3,4=5±25−164=5±34  ⟹  x3=2, x4=12x_{3,4} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \implies x_3 = 2, \, x_4 = \frac{1}{2}

Konačna rešenja jednačine su:

x∈{4,14,2,12}x \in \left\{ 4, \frac{1}{4}, 2, \frac{1}{2} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti