1507. Jednačine koje se svode na kvadratne

Pošto je $x=0$ nije rešenje jednačine, delimo celu jednačinu sa $x^2$ kako bismo iskoristili simetriju koeficijenata.

6x^2 + 7x - 26 + \frac{7}{x} + \frac{6}{x^2} = 0

Grupišemo članove sa istim koeficijentima.

6\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 7\left(x + \frac{1}{x}\right) - 26 = 0

Uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} .$ Tada je $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} ,$ odnosno $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$

6(t^2 - 2) + 7t - 26 = 0

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

6t^2 + 7t - 38 = 0

Računamo rešenja po $t$ koristeći kvadratnu formulu.

t_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 6 \cdot (-38)}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 912}}{12} = \frac{-7 \pm 31}{12}

Dobijamo vrednosti za $t :$

t_1 = 2, \quad t_2 = -\frac{19}{6}

Vraćamo se na prvu smenu za $t_1 = 2 :$

x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0

Odavde dobijamo dvostruko rešenje:

x_1 = x_2 = 1

Vraćamo se na drugu smenu za $t_2 = -\frac{19}{6} :$

x + \frac{1}{x} = -\frac{19}{6} \implies 6x^2 + 19x + 6 = 0

Računamo preostala rešenja kvadratne jednačine:

x_{3,4} = \frac{-19 \pm \sqrt{361 - 144}}{12} = \frac{-19 \pm \sqrt{217}}{12}

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \left\{ 1, \frac{-19 - \sqrt{217}}{12}, \frac{-19 + \sqrt{217}}{12} \right\}

1507.Jednačine koje se svode na kvadratne